Aplicações imediatas do produto escalar

Mais adiante veremos como utilizar o produto escalar no cálculo do momento de uma força em torno de um eixo. Vamos aproveitar agora, algumas aplicações imediatas para o produto escalar entre dois vetores. A primeira, e mais visível utilização consiste na determinação do ângulo formado entre dois vetores dados pelas sua componentes cartesianas, senão vejamos: Comparando as Equações (4.1) (4.6), podemos escrever que:

$$AB \, cos \, \theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$ (4.7)

O que nos leva a concluir que o ângulo $\theta$, formado entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ pode ser dado pela seguinte expressão:

$$\theta = \,arccos\, \left( \frac{A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z}{AB} \right)$$ (4.8)

Uma segunda aplicação imediata de produto escalar consiste em determinar o valor da projeção de um vetor sobre um eixo qualquer. Para entender melhor essa aplicação vamos admitir a existência de um vetor espacial $\vec{P}$ qualquer, e um seguimento de reta $OL$, também espacial e qualquer, conforme mostra a Figura 4.1.

Figure 4.1: Decompondo um vetor sobre um eixo qualquer

Se quisermos obter a projeção do vetor $\vec{P}$ sobre o eixo $OL$ basta calcular $P \,cos\, \theta$. Assim, chamando de $P_{OL}$, o tamanho da projeção do vetor $\vec{P}$ sobre o eixo $OL$, temos que:

$$P_{OL} = P \,cos\, \theta$$ (4.9)

Consideremos agora, um vetor $\vec{Q}$, orientado segundo o eixo $OL$, e com mesmo sentido que $OL$, conforme mostra a Figura 4.2.

Figure 4.2: Produto escalar P . Q

Podemos então escrever o produto escalar entre $\vec{P}$ e $\vec{Q}$ do seguinte modo:

$$\vec{P} \cdot \vec{Q} = QP \,cos\, \theta$$ (4.10)

E como $P \,cos\, \theta = P_{OL}$, temos que:

$$\vec{P} \cdot \vec{Q} = P_{OL} Q$$ (4.11)

De onde deduzimos que:

$$P_{OL} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{Q} = \frac{P_x Q_x + P_y Q_y + P_z Q_z}{Q}$$ (4.12)

Agora, se ao invés de escolher $\vec{Q}$ sobre o eixo $OL$, tivéssemos escolhido, sobre o eixo $OL$, um vetor unitário $\vec{\lambda}$, chegaríamos a seguinte expressão:

$$P_{OL} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{\lambda}}{\lambda} = P_x \lambda_x + P_y \lambda_y + P_z \lambda_z$$ (4.13)

E como $\vec{\lambda}$ é um vetor unitário no mesmo sentido e direção de $OL$, a Equação (4.13) nos dá o tamanho da projeção do vetor $\vec{P}$ sobre o eixo $OL$.