Principio de adición
Si un suceso A puede ocurrir de n maneras y
un suceso B puede ocurrir de m maneras, el número de maneras que puede
ocurrir A ó B (unión) es n + m siempre y cuando A y B no puedan ocurrir
simultáneamente.
Representación gráfica:
Sea A un conjunto no vacio, entonces n(A) ò
|A| se describe como el numero de elementos distintos de A, o cardinalidad
del conjunto A
Fórmulas:
n(AU B)= n(A) + n(B) si AÇB
igual a vacío
n(AU B)= n(A) + n(B)-n(AÇB)
si AÇB
diferente de vacío
n(AUBUC)= n(A) + n(B)+n(C)-n(AÇ
B)-n(BÇ
C)+n(AÇ
BÇ
C)
Ejemplo:
Una encuesta entre 100 estudiantes arrojó la
siguiente estadística:
32 estudian matemáticas
20 estudian física
45 biología
15 matemáticas y biología
7 matemáticas y física
10 física y biología
30 no estudian ninguna de las tres; se desea
encontrar el número de estudiantes que:
-
Estudian 3 materias
-
Encontrar el número de estudiantes que
pertenecen a las 8 regiones del diagrama adjunto donde M, F, B designan
los conjuntos de estudiantes que estudian matemáticas, física y biología
respectivamente.
-
Encontrar el número de estudiantes que
cursan una sola de las 3 materias
Datos:
n(M)=32
n(F)=20
n(B)=45
n(MÇB)=15
n(MÇF)=7
n(FÇB)=10
n(M U F U B)’=30
|
|
Resolución:
a)
n (MU F U B)= n(U)-n(M
U F U B)’
n (MU F U
B)=100-30
n (MU F U B)=70
n (MU F U B)=n(M)+n(F)+n(B)-n(MÇF)-n(MÇB)-n(FÇB)+n(MÇFÇB)
Despejamos n(MÇFÇB)
entonces
n(MÇFÇB)=32+20+45-7-15-10-70
n(MÇFÇB)=5
v=5
b)
n(soloMÇF)=n(MÇF)-n(MÇFÇB)
=7-5
y=2
n(solo MÇB)=n(MÇB)-n(MÇFÇB)
=15-5
u=10
n(solo FÇB)=n(FÇB)-n(MÇFÇB)
=10-5
w=5
n(solo M)=n(M)-n(solo
MÇF)-n(solo
MÇB)-n(MÇFÇB)
=32-2-10-5
x=15
n(solo F)=n(F)-n(solo
MÇF)-n(solo
FÇB)-n(MÇFÇB)
=20-2-5-5
z=8
n(solo B)=n(B)-n(solo
MÇB)-n(solo
FÇB)-n(MÇFÇB)
=45-10-5-5
t=25
c)
x + z + t =
15-8-25=48
De cuantas maneras pueden obtenerse un
corazón o un trébol si saco 2 cartas de una baraja de 52 cartas?
En una baraja de 52 cartas se tienen 4 pintas: corazones, picas,
tréboles y diamantes. Por cada pinta hay 13 cartas entonces el
número de maneras de obtener un corazón o un tréboles.
Respuesta: 13 + 13 = 26
|
Notación Factorial
Se notará por n!,
al producto de los n primeros números enteros positivos, del 1 al n ambos
inclusive:
n! = 1 x 2 x 3 x
....... x (n-2) x (n-1) x n
Es conveniente definir :
0 ! = 1
; 1! = 1
Ejemplos:
1 ! = 0 !
´
1 => 1
´
1 = 1
2 ! = 1 !
´
2 => 1
´
2 = 2
3 ! = 2 !
´
3 => 1
´
2
´
3 = 6
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Principio fundamental para contar
Si algún suceso puede
ocurrir de n1 maneras diferentes y a continuación de éste
suceso, un segundo suceso puede ocurrir de n2 maneras
diferentes y a continuación de éste segundo suceso un tercer suceso pude
ocurrir de n3 maneras diferentes ..., entonces el número de
maneras diferentes en que puede ocurrir todos los sucesos en el orden
indicado es: n1 . n2 . n3 ... .
Supongamos que deseamos viajar de un punto A al punto C pasando por el
punto B y que hay tres diferentes rutas de A a B y cuatro diferentes rutas
de B y C. ¿Cuántas rutas diferentes existen de A a C?
Por cada ruta de A a B
hay cuatro elecciones para la ruta de B a C puesto que hay tres maneras de
llegar a B desde A, hay un total de tres por cuatro maneras de llegar a C
desde A . Entonces tenemos 12 rutas desde el punto A para llegar al punto
C.
Ejemplo 1:
Supongamos que las
matrículas de los coches de cierto país constan de dos letras seguidas de
tres dígitos, no pudiendo ser cero el primero de ellos. ¿Cuántas
matrículas diferentes se pueden imprimir?.
Analizamos el problema y
deducimos los siguiente:
-
Cada letra
se puede imprimir de veintiséis maneras diferentes
-
El primer
dígito de nueve maneras distintas
-
Los dos
restantes se pueden imprimir de diez maneras.
Respuesta:
26 x 26 x 9 x
10 x10 = 608400 Matrículas diferentes
Ejemplo 2:
Un matrimonio decide comprar
una radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4
tipos de radio y 2 clases de cocina ¿de cuántas maneras distintas
pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?
Respuesta: N = 4
´
2 = 8
