.:: VEKTÖRLER ::.


A) Basit Vektör Kombinasyonları
   -Skaler Çarpım
   -Vektörel Çarpım


B) Basit Açıklamalar
   -Brim Vektör


C) Vektörel Fonksiyonlar
   -Gradient
   -Divergence
   -Curl


Vektörler Genel Sayfa

 

.:: Gradient ::.

 
Gradient

Gerek Gradient ve gerekse Divergence gibi diğer ifadeleri açıklamadan önce, bu konuda sıkça kullanacağımız bir operatör olan Dell operatöründen bahsetmek istiyorum;

Şeklinde gösterebileceğimiz Dell operatörü skaler veya vektörel fonksiyonlara uygulayabileceğimiz bir türev alma operatörüdür. Konuda ayrıntılı bir şekilde gösterileceği üzere Dell operatörünü bir skaler fonksiyon ile veya vektörel bir fonksiyon ile skaler olarak çarparak veya bir vektörel fonksiyon ile vektörel olarak çarparak çeşitli tanımlamalar yapabiliriz. Bu tanımlamalardan ilki Gradienttir. Bir skaler fonksiyonun Dell operatörü ile skaler olarak çarpımına, o skaler fonksiyonun Gradienti adını vermekteyiz. Öyleyse skaler bir fonksiyon olmak üzere Gradient;

Olarak ifade edilir. Tanımdan da görüldüğü üzere Skaler bir fonksiyonu Dell operatörüyle çarparak, birinci bileşeni o fonksiyonun x' e göre, ikinci bileşeni y' ye üçüncü bileşeni z' ye göre türevi olan ve o fonksiyonun Gradienti adını verdiğimiz yeni bir vektör elde ediyoruz. Bulmuş olduğumuz bu Gradient ifadesi bir yüzeyin teğet düzleminin veya normal doğrusunun denklemlerinin bulunması gibi önemli hesaplamalarda işe yaramaktadır. Şimdi bunları inceleyelim; 

Gradient' in Uygulamaları:

  Şekilde mavi ile görülen (x,y,z)=0 yüzeyini ele alalım ve bu (x,y,z)=0 fonksiyonunun diferansiyeline geçelim, öyleyse;

İfadesini elde ederiz. Dikkat edilirse bu diferansiyel ifadesi (x,y,z)=0 fonksiyonunun Gradientinin, (x,y,z)=0 in teğet düzlemi içindeki bir vektör ile skaler çarpımıdır. Yani bu söylediklerimizi matematiksel olarak ifade etmek istersek yukarıdaki diferansiyel ifadesini şu şekilde de yazabiliriz;

  Burada dr vektörü şekilde kırmızı ile gösterilen teğet düzlemi içindeki bir vektördür. Öyleyse (x,y,z)=0 fonksiyonunun M noktasındaki teğet düzlemi içindeki bir vektör ile yine bu fonksiyonun Gradientinin skaler çarpımı sıfıra eşittir. Bu da bize bir skaler fonksiyonun M noktasındaki gradientinin, o fonksiyonun M noktasındaki teğet düzlemine dik olduğu sonucunu verir. Bu gerçekten önemli bir sonuçtur. Çünkü bu sayede, (x,y,z)=0 fonksiyonunun bir M noktasındaki teğet düzleminin denklemini yine bir M noktasındaki normal doğrusunun denklemini kolaylıkla bulabiliriz. Şimdi bunu nasıl yapabileceğimizi kısaca ifade edelim;

Bir Yüzeyin Teğet Düzlem Denklemi:

Şimdi öncelikle teğet düzlemi içinden bir M0 (x0 , y0 , z0) noktası alalım ve Teğet düzleminin yüzeye teğet olduğu M(x,y,z) noktası ile bu noktayı birleştirelim. Böylece teğet düzlemi içinde bir M0M (x-x0 , y-y0 , z-z0 ) vektörü elde ederiz. Bu vektör bulduğumuz sonuca göre (x,y,z)=0 fonksiyonunun Gradientine dik olacağından, bu Gradient ifadesiyle bulduğumuz vektörü skaler olarak çarpıp sıfıra eşitlersek, bir yüzeyin teğet düzleminin denklemini şu şekilde elde ederiz;

 

Bir Yüzeyin Normal Doğrusunun Denklemi:

(x,y,z)=0 yüzeyinin bir M0 noktasındaki normal doğrusunun, yaptığımız bu açıklamalar doğrultusunda (x,y,z)=0 fonksiyonunun Gradientine paralel olan bir doğru olacağı açıktır. Çünkü yüzeyin bir M0 noktasındaki normal doğrusu, yüzeyin o noktadaki teğet düzlemine diktir. Öyleyse bu yüzeyin normal doğrusu  üzerinde bir M(x,y,z) noktası alıp M0 (x0 , y0 , z0) noktası ile birleştirirsek Gradiente paralel olan vektörü elde ederiz ve böylece bir yüzeyin normal doğrusunun denklem ifadesi de;

olarak elde edilir.


Vektörler Genel Sayfa


© 2000-2002 Matematikce

 
 

Ana sayfa

Programlarım

Atatürk & matematik

Matematik Tarihi
 

İncelenen Konular

Biyografiler

Javayla Matematik

Düşünce Yolu

Üniversite Hazırlık

Tartışma Panosu

Link Arşivi

Ziyaretci Defteri