Matérias relativas às disciplinas do 12º ano de escolaridade
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FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n é dado por
Tp+1 = Cn,p . an - p .bp (Fórmula do Termo geral de um binómio de Newton).
onde Cn,p = n! / [(n-p)! . p!] .
Obs :
1) o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio.
2)o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos equidistantes (mesma distancia) dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - Determine o 7º termo do binómio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x .
Solução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efectuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3.
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução: Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binómio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binómio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efectuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 =
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3 - Desenvolvendo o binómio (2x - 3y)3n , obtemos um polinómio de 16 termos . Qual o valor de n?
Solução: Ora, se o desenvolvimento do binómio possui 16 termos, então o expoente do binómio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.
4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a) (2x - 3y)12 ? Resp: 1
b) (x - y)50 ? Resp: 0
Solução:
a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x=1 e y=1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Solução: termo independente de x = aquele que não possui x.
temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p . Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
EXERCÍCIOS
T4 = 1512.x5 2) – 128
6400
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
-20
5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
4
6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.
O valor de n é:
8
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
Resp: 248
8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!
Resp: 24
9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.
Resp: 1024
