O Princípio de D'Alambert

As equações do movimento de qualquer sistema dinâmico representam expressões da segunda lei do moviemto de Newton, que diz que a taxa de variação da quantidade de movimento de qualquer partícula de massa $m$ é igual a força que está agindo sobre essa partícula. Esta relação pode ser matematicamente expressa pela seguinte equação diferencial:

$$P(t) = \frac{d}{dt} \left( m \frac{du}{dt} \right)$$ (10.1)

Onde $P(t)$ é o vetor força aplicada e $u(t)$ é o vetor posição da partícula de massa $m$. Felizmente, para a grande maioria dos problemas de nosso interesse a massa do sistema permanece constante, o que nos leva a reescrever a Equação (10.1) do seguinte modo:

$$P(t) = m \frac{d^2 u}{dt^2} \equiv m \ddot{u}(t)$$ (10.2)

Onde os dois pontos significam a derivada segunda em relação ao tempo. A Equação (10.2) indica que para os sistemas onde a massa é constante em relação ao tempo, a força aplicada é igual ao produto da massa pela aceleração. Uma outra forma também usada para a mesma equação é a seguinte:

$$P(t) - m \ddot{u}(t) = 0$$ (10.3)

Onde $m \ddot{u}(t)$ é chamado de força inercial de resistência a aceleração da massa. O conceito de que a aceleração da massa de um sistema gera o surgimento de forças ierciais proporcionais a aceleração dos sistema é conhecido como o Princípio de D'Alambert. É uma abordagem bastante conveniente em problemas de análise estrutural dinâmica porque permite que as equações do movimento sejam expressa na formas de equações de equilíbrio dinâmico. Podem existir para a força $P(t)$ diversas funções que expressem as mais variadas formas de carregamento agindo em um sistema onde a massa pode ser concentrada. A forças elásticas que se opõe aos deslocamentos assim como também as forças viscosas que se opõe as velocidades podem ser facilmente incluídas nessa formulação das equações do movimento, permitindo levar em consideração a elasticidade dos corpos e o amortecimento do movimento. Para os problemas que estudaremos, esta abordagem para a obtenção das equações do movimento se mostrará bastante conveniente, porém não devemos esquecer que existem outras abordagens mais convenientes em outras situações, como pro exemplo, o princípio dos trabalhos virtuais, que também pode ser utilizado na formulação das equações do movimento em sistemas dinâmicos mais complexos, envolvendo um grande número de graus de liberdade dinâmica.