Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional

Inicialmente, consideraremos uma placa horizontal, conforme a mostrada na Figura 6.1. Podemos dividir essa placa em $n$ elementos infinitesimais, de modo que cada um desses elementos tenha um peso $\Delta P_i$, e coordenadas $x_i$ e $y_i$.

Figure 6.1: Baricentro de uma placa

Apesar da curvatura da terra, vamos considerar que para todos os efeitos práticos essas $n$ forças $\Delta P$ são paralelas entre si. Sendo assim, podemos reduzir o sistema com $n$ forças para um que possua apenas uma única força e dois momentos, através das seguintes equações:

$$\begin{array}{c} P = \sum_{i=1}^{n} \Delta P_i \\ \\ M_x =... ... \\ M_y = \sum_{i=1}^{n} x_i \Delta P_i \\ \\ \end{array}$$ (6.1)

Na Equação 6.1 os momentos $M_x$ e $M_y$ são chamados de momentos de primeira ordem da superfície em relação aos eixos $x$ e $y$. Os momentos de primeira ordem medem a tendência de giro de uma superfície em relação a um eixo qualquer, contido no mesmo plano dessa superfície.

Agora, nos resta descobrir, a intensidade e o ponto de aplicação de uma única força $P$ que seja equivalente ao sistema que contém todas as $n$ forças $\Delta P$. Para que seja equivalente esse força $P$ deve provocar os mesmos efeitos sobre a superfície que os provocados pelas $n$ forças $\Delta P$. Supondo que as coordenadas que definem o ponto de aplicação da força $P$ sejam dadas por $\overline{x}$ e $\overline{y}$, podemos escrever que:

$$\begin{array}{l} P = \sum_{i=1}^{n} \Delta P_i \\ \\ M_x =... ...line{x} P = \sum_{i=1}^{n} x_i \Delta P_i \\ \\ \end{array}$$ (6.2)

Fazendo $n$ tender ao infinito, podemos reescrever as Equações (6.2) do seguinte modo:

$$\begin{array}{l} P = \int dP \\ \\ \overline{x} P = \int x dP \\ \\ \overline{y} P = \int y dP \\ \\ \end{array}$$ (6.3)

A partir das Equações (6.3) podemos obter as coordenadas ( $\overline{x}, \, \overline{y}$) do Baricentro G da superfície plana. Como podemos perceber as coodenadas do baricentro dependem apenas da geometria do problema, independendo do tipo de material que constitui a placa.

Como estamos tratando com superfícies planas, podemos expresar o peso em função da área, através da seguinte equação:

$$\Delta P = \gamma \, t \, \Delta A$$ (6.4)

Onde $t$ é a espessura da placa, considerada constante, $\gamma$ é o peso específico do material que constitui a placa e $\Delta A$ é uma área infinitesimal de um elemento tomado sobre a placa. Considerando agora a Equação (6.4) podemos reescrever as Equações (6.3) do seguinte modo:

$$\begin{array}{l} P = \int \gamma \, t \, dA \\ \\ \overlin... ...\overline{y} P = \int y \gamma \, t \, dA \\ \\ \end{array}$$ (6.5)

As Equações (6.5) nos permitem então calcular as coordenadas ( $\overline{x}, \, \overline{y}$) do Centróide da superfície plana considerada. Considerando o material homogêneo e a espessura da placa constante, podemos simplificar as Equações (6.5) da seguinte forma:

$$\begin{array}{l} P = \gamma \, t \,\int dA \\ \\ \overline... ...t x dA \\ \\ \overline{y} P = \int y dA \\ \\ \end{array}$$ (6.6)

Portanto, podemos escrever que as coordenadas do centróide de uma superfície plana homogênea e de espessura constante podem ser dadas pelas seguintes equações:

$$\begin{array}{l} \\ \overline{x} = \frac{\int x dA}{\int dA... ... \overline{y} = \frac{\int y dA}{\int dA} \\ \\ \end{array}$$ (6.7)

Analogamente, podemos deduzir as equações que definem a posição do centróide de um fio qualquer contido em um plano, do seguinte modo:

$$\begin{array}{l} \\ \overline{x} = \frac{\int x dL}{\int dL... ... \overline{y} = \frac{\int y dL}{\int dL} \\ \\ \end{array}$$ (6.8)

Onde $dL$ é o comprimento de um elemento infinitesimal tomado sobre o fio. Note que na maioria dos casos, o centróide dos fios não estão contidos nos próprios fios, e que no caso das superfícies planas, o centróide pode também não estar contido sobre o corpo definido pela superfície, principalmente nas superfícies vazadas. Perceberemos isso mais atententamente quando entendermos melhor o conceito de centróide.