Produto vetorial misto em componentes cartesianas

Fazendo $(\vec{B} \times \vec{C})= \vec{S}$, e escrevendo o produto misto $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ em termos de suas componentes cartesianas, temos que:

$$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{S} = A_x S_x + A_y S_y + A_z S_z$$ (4.15)

Escrevendo as componentes $S_x$, $S_y$ e $S_z$ em termos das componentes de $\vec{B}$ e $\vec{C}$, teremos que:

$$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = A_x (B_y C_z - B_z C_y) + A_y (B_z C_x - B_x C_z) + A_z (B_x C_y - B_y C_x)$$ (4.16)

Felizmente para nós, a Equação (4.16) pode ser obtida a partir do cálculo de um determinante, calculado do seguinte modo:

$$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \left\vert \begin{a... ... B_y & B_z \\ \\ C_x & C_y & C_z \\ \end{array} \right\vert$$ (4.17)

Deve-se ter o cuidado de colocar as linhas do determinante na ordem correta, para que o valor obtido corresponda exatamente ao produto misto desejado. Se desejamos calcular $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$, então a primeira linha do determinante terá as componentes cartesianas de $\vec{A}$, ao passo que a segunda e a terceira linhas terão respectivamente as componentes cartesianas dos vetores $\vec{B}$ e $\vec{C}$.