Introdução ao Método da Flexibilidade - Abordagem Matricial

Agora vejamos o caso apresentado na Figura 18:

Figura: Método da Flexibilidade - Viga com dois redundantes

No caso da viga apresentada na Figura 18-(a) temos uma estrutura estaticamente indeterminada do segundo grau, e neste caso, a solução do problema via método da flexibilidade requer que sejam rompidos dois vínculos da viga. No caso específico da viga da Figura 18-(a) foram rompidos os vínculos dos apoios B e C. Como determina o método da flexibilidade, foram colocados os redundantes estáticos $R_B$ e $R_C$ no locais onde os vínculos foram rompidos, resultando no esquema estrutural da Figura 18-(c).

O próximo passo é calcular os deslocamentos na estrutura liberada nos pontos onde atuam os redundantes. Em primeiro lugar, calculam-se os deslocamentos devido a ação do carregamento que solicita a estrutura (o carregamento distribuído $w$). Em seguida calculam-se os deslocamentos devido a ação dos redundates $R_B$ e $R_C$.

A partir de agora, chamaremos os deslocamentos $\Delta$ devido aos carregamento de $D_L$. O subíndice $L$ indica apenas que é um deslocamento devido ao carregamento (em inglês load), não sendo propriamente um subíndice, mais um indicador. Os $D_{Li}$ terão os subíndeces $i$, que indicam a posição $i$ onde o deslocamento está sendo calculado.

Para o caso apresentado na Figura 18-(d), podemos calcular $D_{L1}$ e $D_{L2}$ através da técnica da carga virtual unitária do modo ilustrado nas Figuras 19 e 20.

Figura 19: Deslocamento DL1 na estrutura liberada devido as cargas

Figura 20: Deslocamento DL2 na estrutura liberada devido as cargas

Agora que já calculamos os valores dos deslocamentos devido aos carregamentos atuando na estrutura liberada, falta calcular os deslocamentos devido a ação dos redundates atuando na estrutura liberada. Só que desta vez, calcularemos as flexibilidades nos pontos 1 e 2 de tal sorte que poderemos expressar os deslocamentos devido aos redundantes em função de suas respectivas flexibilidades. Os cálculos das flexibilidades, está ilustrado nas Figuras 21 e 22.

Figura 21: Flexibilidades $F_{11}$ e $F_{21}$ na estrutura liberada

Figura 22: Flexibilidades $F_{12}$ e $F_{22}$ na estrutura liberada

Agora que já sabemos as flexibilidades nos pontos 1 e 2, podemos calcular os deslocamentos na estrutura liberada devido a ação das redundantes estáticas. Uma vez que já foram calculadas as flexibilidades, podemos expressar os deslocamentos na forma da Equação (2.5):

$$\begin{array}{c} D_{11} = F_{11} R_B \\ D_{12} = F_{12} R_C \\ D_{21} = F_{21} R_B \\ D_{22} = F_{22} R_C \\ \end{array}$$ (40)

Agora que já sabemos quais os valores dos deslocamentos causados pelo carregamento e pelas redundates, podemos escrever as equações de Equilíbrio para os nós B e C (que chameremos de 1 e 2), na forma da Equação (2.6):

$$\begin{array}{l} \displaystyle \delta_1 = -\frac{3wL^4}{128E... ...= -\frac{wL^4}{8EI} + F_{21} R_B + F_{22} R_C \\ \end{array}$$ (41)

A Equação (2.6) pode ser matricialmente expressa na forma da Equação (2.7):

$$\left[ \begin{array}{c} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \end{array... ...\cdot \left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right]$$ (42)

Adotando a nomeclatura semelhante a utilizada por gereweaver, nominaremos os deslocamentos gerais como $D$; os deslocamentos devido as cargas de $D_L$, e as forças redundates denotadas por $Q$. Desse modo a Equação (2.7), é reescrita em temos gerais na forma da Equação (2.8):

$$\left[ \begin{array}{c} D_1 \\ D_2 \\ \end{array}\right] =... ...\cdot \left[ \begin{array}{c} Q_1\\ Q_2\\ \end{array}\right]$$ (43)

Substituindo os valores já calculados para a Equação (2.8), obteremos a Equação (2.9):

$$\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array}\right] = \le... ...\cdot \left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right]$$ (44)

Agora, se desejamos obter os valores das redundantes $[Q]$, isolamos esse termo da Equação (2.9), obtendo a Equação (2.10):

$$\left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right] \cd... ...frac{3wL^4}{128EI} \\ \frac{wL^4}{8EI} \\ \end{array}\right]$$ (45)

De modo, que se desejamos obter os valores das redundantes, precisaremos inverter a matriz de flexibilidade, conforme indicado na Equação (2.11):

$$\left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right] = \... ...frac{3wL^4}{128EI} \\ \frac{wL^4}{8EI} \\ \end{array}\right]$$ (46)

Utilizando a técnica algébrica descrita em boldrini, podemos obter a inversa da matriz de flexibilidade, dada pela Equação (2.12):

$$[F]^{-1} = \frac{48EI}{7L^3} \left[ \begin{array}{cc} 16 & -5 \\ -5 & 2 \\ \end{array}\right]$$ (47)

Assim, podemos reescrever a Equação (2.11) na forma da Equação (2.13):

$$\left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right] = \... ...128EI} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 16 \\ \end{array}\right]$$ (48)

Resolvendo (2.13), chegamos aos valores dos redundantes expressos na Equação (2.14)

$$\left[ \begin{array}{c} R_B\\ R_C\\ \end{array}\right] = \... ...56} \left[ \begin{array}{r} -32 \\ 17 \\ \end{array}\right]$$ (49)