Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez

Até agora, nos exemplos que apresentamos, para cada estrutura existia apenas um deslocamento em análise e portanto, apenas um único coeficiente de flexibilidade e um único coeficiente de rigidez, situação que serviu para explicar os conceitos de flexibilidade e de rigidez, mas que em casos práticos não será aplicada, uma vez que na análise de estruturas usuais o número de deslocamentos e ações é consideravelmenet elevado. Nestes casos, ao invés de trabalharmos com coeficientes únicos, iremos utilizar matrizes de coeficientes, matrizes essas que são nominadas de matriz de rigidez e matriz de flexibilidade.

Os casos que veremos na presente seção ilustram apenas a utilização das matrizes de flexibilidade e rigidez nas equações que correlacionam ações com deslocamentos, ainda não discutiremos a obtenção dos coeficientes de flexibilidade e de rigidez.

Para ilustrar a obtenção das citadas matrizes, analisemos o caso da viga de dois vãos sujeita a três ações, conforme apresentado na Figura 15. Digamos que para esse caso desejemos obter os três deslocamentos $\delta_1$, $\delta_2$ e $\delta_3$ indicados na figura, considerados positivos nos mesmos sentidos das ações aplicadas nos pontos 1, 2 e 3.

Sabemos que cada deslocamento é composto de parcelas de deslocamento correspondentes as ações aplicadas na estrutura, de forma que:

$$\begin{array}{c} \delta_1 = D_{11} + D_{12} + D{13} \\ \del... ... + D{23} \\ \delta_3 = D_{31} + D_{32} + D{33} \\ \end{array}$$ (26)

Sabemos ainda que se for possível aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, as parcelas de deslocamento $D_{ij}$ podem ser calculados considerando as ações atuando isoladamente na estrutura. Assim, podemos expressar a parcela de deslocamento $D_{ij}$, considerando apenas a ação $j$. No caso específico apresentado na Figura 15, podemos expressar $D_{11}$ calculando o deslocamento no ponto 1 considerando apenas a ação $A_1$ atuando isoladamente. Assim, se soubermos qual é o deslocamento que provocado por uma ação unitária no ponto 1 acharemos um coeficiente de flexibilidade que correlaciona o deslocamento $\delta_1$ com a ação $A_1$ dado por:

$$D_{11} = F_{11} \; A_1$$ (27)

Pelo mesmo raciocínio que nos permitiu escrever a Equação (1.27), podemos escrever que:

$$\begin{array}{c} D_{12} = F_{12} \; A_2 \\ D_{13} = F_{13} \; A_3 \\ \end{array}$$ (28)

Nas Equações (1.27) e (1.28), os coeficientes $F_{11}$, $F_{12}$ e $F_{13}$ são obtidos através do cálculo do deslocamento no ponto 1 causado pelas ações $A_1$, $A_2$ e $A_3$ atuando isoladamente. Para ser mais específico, o coeficiente $F_{11}$ é o deslocamento vertical no ponto 1 provocado pela ação $A_1$, ao passo que $F_{12}$ é o deslocamento vertical no mesmo ponto 1 agora causado pela ação $A_2$, e finalmente $F_{13}$ é o deslocamento vertical no mesmo ponto 1 causado provocado pela ação $A_3$. Como já sabemos que o deslocamento provocado por uma ação unitária é a flexibilidade, obtemos os coeficientes de flexibilidade $F_{ij}$ onde o índice $i$ indica o ponto onde o deslocamento é considerado, e o índice $j$ indica o ponto onde a ação unitária foi aplicada. Na Figura 15 esse processo é graficamente apresentado.

Figura: Coeficientes de flexibilidade para viga com dois vãos

Aplicando o mesmo raciocício com o qual obtivemos as Equações (1.27) e (1.28), podemos escrever que:

$$\begin{array}{c} D_{21} = F_{21} \; A_1 \\ D_{22} = F_{22} \; A_2 \\ D_{23} = F_{23} \; A_3 \\ \end{array}$$ (29)

De modo análogo, teremos que:

$$\begin{array}{c} D_{31} = F_{31} \; A_1 \\ D_{32} = F_{32} \; A_2 \\ D_{33} = F_{33} \; A_3 \\ \end{array}$$ (30)

Assim, usando as Equações (1.27), (1.28), (1.29) e (1.30), podemos correlacionar todos as ações $A$ com os deslocamentos $\delta$, do seguinte modo:

$$\begin{array}{c} \delta_1 = F_{11} \; A_1 + F_{12} \; A_2 + ... ...F_{31} \; A_1 + F_{32} \; A_2 + F_{33} \; A_3 \\ \end{array}$$ (31)

As equações (1.31) podem ser matricialmente expressas na forma da Equação (1.32).

$$\left[ \begin{array}{c} \delta_1\\ \delta_2\\ \delta_3\\ ... ...eft[ \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ A_3\\ \end{array}\right]$$ (32)

Em termos genéricos para uma estrutura qualquer, temos que:

$$[ \delta ]= [F] [A]$$ (33)

Onde:

• $[\delta]$ é a matriz de deslocamentos;
• $[F]$ é a matriz de flexibilidade, e
• $[A]$ é a matriz das ações.

A Equação (1.33) expressa os deslocamentos em função das ações, utilizando para isso a matriz de flexibilidade $[F]$. Porém, se a partir da mesma Equação (1.33) quisermos expressar as ações em função dos deslocamentos, chegaremos a Equação (1.34):

$$[A]= [F]^{-1} [ \delta ]$$ (34)

Onde $[F]^{-1}$ é a matriz de flexibilidade invertida, de forma que para as mesmas ações e deslocamentos apresentados na Figura 15, podemos dizer que $[S]=[F]^{-1}$, e então escrevermos a Equação (1.35).

$$[A]= [S] [ \delta ]$$ (35)

Na Equação (1.35) as ações são expressas em função dos deslocamentos e a matriz $[S]$ é uma matriz de rigidez para a estrutura apresentada, matriz essa que pode ser obtida a partir da inversão da matriz $[F]$ ou diretamente através da identificação de valores de carregamento que provocam deslocamentos unitários nas mesmas direções e sentidos indicados pelos deslocamentos $\delta_1$, $\delta_2$ e $\delta_3$ da Figura 15. Tal processo é graficamente ilustrado na Figura 16.

Analisando o processo físico ilustrado na Figura 16 vemos que o que se procura agora é quais são as ações que provocam deslocamentos unitários, ou seja, quais os coeficientes de rigidez. Se analisamos o ponto 1 especificamente, e perguntamos quais as ações que provocam um deslocamento unitário na mesma direção e sentido de $\delta_1$, fazendo com que $\delta_2$ e $\delta_3$ sejam nulos, obteremos os coeficientes $S_{11}$, $S_{21}$ e $S_{31}$, e assim suscessivamente, até obtermos a matriz de rigidez $[S]$, em raciocío semelhante ao desenvolvido na obtenção dos coeficientes de flexibilidade da matriz $[F]$. Os deslocamentos $\delta_2$ e $\delta_3$ são nulos no caso desses três coeficientes, por que a pergunta que tentamos responder é quais são as ações que provocam deslocamento unitário apenas no ponto 1. Quando repetirmos a mesma investigação para os pontos 2 e 3, acharemos os demais coeficientes de rigidez que compõe a matriz de rigidez.

Figura: Coeficientes de rigidez para viga com dois vãos

Determinar os valores dos coeficientes de rigidez e flexibilidade de uma estrutura genérica é uma tarefa muito difícil. O que usualmente se faz é determinar esses coeficientes para certos tipos de estruturas de forma específica e isolada, construindo-se assim uma tabela de valores desses coeficientes para situações previamente determinadas. De posse desses valores previamente conhecidos, divide-se a astrutura global de forma que os coeficientes de flexibilidade e de rigidez da estrutura global possam ser obtidos a partir das combinações dos coeficientes conhecidos à priori.