Matérias relativas às disciplinas do 12º ano de escolaridade
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Matemática |
Português |
Química |
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Análise combinatória
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 . Ex: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Exemplo: Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco rectangular de cinco lugares.
Solução: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Exercicios
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
02 - UECE) A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
Resp: 61
03 - UNIFOR) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
04 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
05 - As retas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na reta r e 4 pontos distintos sobre a reta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados?
Resp: 70
06 - Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exatamente 18 elementos
b) 190
07 - Seis pessoas A,B,C,D,E,F ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, o número de possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem é:
Resp :192
08 - Quantas diagonais contém o hexaedro constituído por 6 faces triangulares obtido pela união de duas pirâmides triangulares?
Resp: 01
09 - PUC-SP) Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes podemos formar nas quais não apareça o jogador A?
10
10 - UFCE) Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não contém os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
2160
11 - Provenientes das permutações dos algarismos 1,2,2,2,3,4, quantos números pares de 6 algarismos existem?
Resp: 80
12 - De quantos modos podemos dispor em linha e alternadamente, 5 rapazes e 6 moças?
Resp: 86400.
13 - Quantos são os números de 5 algarismos distintos, menores que 30.000, formados com os algarismos 1,2,3,4,5?
Resp: 48
14 - Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 3,5,7,9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é:
18
15 - Consideram-se 7 pontos num plano, dos quais 3 quaisquer não colineares; consideram-se, ainda, dois outros pontos fora do plano, tais que a reta por eles definida não contenha qualquer dos 7 anteriores, e seja reversa com qualquer reta definida pelos mesmos 7 pontos. Quantos tetraedros distintos podemos formar com vértices nos pontos considerados?
Resp: 91
16) Sabe-se que os telefones de uma cidade são números de seis dígitos, onde o primeiro nunca é zero. Supondo-se que os números dos telefones passem a ter sete dígitos, determine o aumento possível na quantidade de telefones dessa cidade.
Resp: 8.100.000
17) Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 pessoas e o outro com 15, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, qual o número total de cumprimentos?
Resp: 300
18) Uma prova compõe-se de 6 questões de múltipla escolha com 5 alternativas cada. De quantos modos um aluno pode preencher o quadro de respostas, escolhendo as alternativas ao acaso?
Resp:15625
19) Em uma cidade, as placas dos automóveis são formadas por duas das 26 letras do alfabeto, seguidas de 4 algarismos. Placas com letras iguais são proibidas, mas não há qualquer restrição quanto aos algarismos. Quantas placas diferentes são possíveis?
Resp: 6.500.000
20) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Resp: 63
Cuidado: não pense que são 64 modos! Lembre-se de retirar a opção de todas as portas fechadas!
