Momentos de Inércia de Superfícies Planas

Inicialmente, consideraremos forças distribuídas $\Delta \vec{F}$ de módulo proporcional ao elemento de área $\Delta A$ no qual elas atuam e que variam linearmente com a distância de $\Delta A$ a um determinado eixo polar. Um caso clássico que ilustra esse problema é o de uam seção transversal de uma viga sujeita a flexão pura, uma vez que demonstra-se em Resistência dos Materiais que as forças internas em qualquer seção da viga são forças distribuídas, cujos módulos $\Delta F = k \cdot y \cdot \Delta A$ variam linearmente com a distância $y$ a partir de um eixo passando pelo centróide da seção. Esse eixo, é conhecido como eixo neutro da seção, de modo que as forças de um lado do eixo neutro são de compressão, e do outro lado são forças de tração, e sobre o eixo neutro as forças são nulas.

Figure 7.1: Seção transversal de viga sob flexão pura

O módulo da força resultante $F_R$ é igual a soma dos módulos das forças elementares $\Delta F$ sobre a seção inteira, portanto:

$$F_R = \int k y dA = k \int y dA$$ (7.1)

A integral $\int y dA$ que aparece na Equação (7.1) é conhecida como sendo o momento de primeira ordem da seção em relação ao eixo $x$. Portanto sabemos que:

$$\bgroup\color{black} \int y dA = \overline{y} A \egroup$$

E como o eixo neutro coincide com o eixo $x$, temos que $\overline{y}=0$, e portanto a força resultante que atua sobre a seção é nula, restando apenas o momento resultante que atua sobre o eixo neutro. Para calcular o valor do momento tomemos um elemento $\Delta A$, distante $y$ do eixo neutro. Para esse elemento, o momento de $\Delta F$ em relação ao eixo neutro é dado por:

$$\bgroup\color{black} \Delta M = \Delta F \times y = (k y \Delta A) \times y = ky^2 \Delta A \egroup$$

Portanto, para obter o momento resultante $M_R$ que atua sobre a seção, basta somar todos os $\Delta M$ que atuam sobre a seção, assim, teremos que:

$$M_R = \int ky^2 dA = k \int y^2 dA$$ (7.2)

A integral $\int y^2 dA$ que aparece na Equação (7.2) é conhecida como momento de sgunda ordem ou momento de inércia de uma seção em relação ao eixo $x$, e é matematicamente representado por $I_x$. É interessante notar que $I_x$ será sempre positivo, uma vez que a área e $y^2$ serão sempre positivos.

Do mesmo modo que definimos o momento de segunda ordem em relação a $x$, podemos definir o momento de segunda ordem em relação ao eixo $y$, e desse modo teremos: