Equilíbrio de forças espaciais sobre um ponto

Antes de discutirmos o equilíbrio de forças espaciais sobre um ponto, é fundamental que saibamos como calcular os cossenos diretores de uma direção espacial qualquer. Faremos isso utilizando os nossos conhecimentos sobre soma vetorial. Observe a Figura 2.5.

Figure 2.5: Direção espacial genérica

Nessa figura temos uma reta qualquer $s$ no espaço, sobre a qual marcamos aleatoriamente os pontos A e B. Com os elementos geométricos disponíveis construímos três vetores, sendo eles: $\vec{q_1}$, $\vec{q_2}$ e $\vec{q_3}$. Esses três vetores foram construídos de modo que se verificasse a seguinte soma vetorial:

$$\vec{q_1} + \vec{q_2} = \vec{q_3}$$ (2.3)

Outra particularidade importante é que ambos os vetores $\vec{q_1}$ e $\vec{q_3}$ tem sua origem coincidindo com a origem do sistema de eixos coordenados (são o que chamamos de vetores posição).

Como propositadamente o vetor $\vec{q_2}$ foi construído sobre a reta $s$, ao determinar os cossenos diretores de $\vec{q_2}$, igualmente determinamos os cossenos diretores de qualquer vetor sobre a reta $s$. Note bem: determinando os cossenos diretores de $\vec{q_2}$, determinamos também os cossenos diretores de qualquer vetor sobre a reta $s$.

E o que precisamos para determinar os cossenos diretores de um vetor qualquer ? Precisamos apenas de sua representação cartesiana, não é mesmo ? uma vez que, os cossenos diretores são definidos pelas seguintes equações:

$$\begin{array}{c} \lambda_x = \frac{Q_x}{\vert Q\vert} \\ \\... ... \\ \lambda_z = \frac{Q_z}{\vert Q\vert} \\ \\ \end{array}$$ (2.4)

Onde $\vert Q\vert$ é o módulo de um vetor qualquer $\vec{Q} = Q_x \vec{i} + Q_y \vec{j} + Q_z \vec{k}$. Portanto, o que temos a fazer é escrever o vetor $q_2$ em termos de suas componentes cartesianas. E como faremos isso ?

Uma particularidade dos vetores-posição (como $\vec{q_1}$ e $\vec{q_3}$) é que eles podem ser facilmente decompostos em suas componentes cartesianas, fazendo as coordenadas respectivas do ponto onde está sua extremidade coincidirem com os valores das componentes cartesianas correspondentes. Vejamos o vetor $\vec{q_3}$ da Figura 2.5 por exemplo; ele pode ser facilmente decomposto em sua representação cartesiana do seguinte modo:

$$\bgroup\color{black} \vec{q_3} = b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k} \egroup$$

Onde $b_x$, $b_y$ e $b_z$ são as coordenadas cartesianas do ponto B. Do mesmo modo podemos obter a representar o vetor posição $\vec{q_1}$:

$$\bgroup\color{black} \vec{q_1} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} \egroup$$

Onde $a_x$, $a_y$ e $a_z$ são as coordenadas cartesianas do ponto A. Bom, e o que nos resta descobrir agora ? Agora temos que determinar as componentes cartesianas do vetor $\vec{q_2}$. Como não conhecemos os módulos das projeções cartesianas de $\vec{q_2}$ estes serão as incógnitas a determinar. Assim, escrevendo o vetor $\vec{q_2}$ em termos de suas componenetes cartesianas, teremos que:

$$\bgroup\color{black} \vec{q_2} = q_x \vec{i} + q_y \vec{j} + q_z \vec{k} \egroup$$

Onde $q_x$, $q_y$ e $q_z$ são os módulos das projeções cartesianas do vetor $\vec{q_2}$. Agora vamos relembrar a Equação (2.3),

$$\bgroup\color{black} \vec{q_1} + \vec{q_2} = \vec{q_3} \egroup$$

Isolando $\vec{q_2}$ nessa equação, podemos escrever que:

$$\vec{q_2} = \vec{q_3} - \vec{q_1}$$ (2.5)

Escrevendo (2.5) em termos de suas representações cartesianas, termos que:

$$q_x \vec{i} + q_y \vec{j} + q_z \vec{k} = ( b_x \vec{i} + b_... ...j} + b_z \vec{k}) - (a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k})$$ (2.6)

A partir de (2.6) podemos escrever que:

$$\begin{array}{c} \\ q_x = b_x - a_x \\ \\ q_y = b_y - a_y \\ \\ q_z = b_z - a_z \\ \\ \end{array}$$ (2.7)

Finalmente obtivemos o vetor $\vec{q_2}$ em função de suas coordenadas cartesianas. Para obter os cossenos diretores temos ainda que calcular o módulo do vetor $\vec{q_2}$. Como já sabemos, o módulo de $\vec{q_2}$ pode ser determinado assim:

$$\bgroup\color{black} \vert Q\vert = \sqrt{(q_x)^2+(q_y)^2+(q_z)^2} \egroup$$

Pronto !, agora, os cossenos diretores de $\vec{q_2}$:

$$\bgroup\color{black} \begin{array}{c} \\ \lambda_x = \frac{q... ...ambda_z = \frac{q_z}{\vert Q\vert} \\ \\ \end{array} \egroup$$