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Equilíbrio de forças espaciais sobre um ponto

Antes de discutirmos o equilíbrio de forças espaciais sobre um ponto, é fundamental que saibamos como calcular os cossenos diretores de uma direção espacial qualquer. Faremos isso utilizando os nossos conhecimentos sobre soma vetorial. Observe a Figura 2.5.

Figure 2.5: Direção espacial genérica
\resizebox{80mm}{60mm}{ %
\vspace{-20mm} %
\includegraphics{/home/marvinsc/Academico/Ueg/Mecanica/2001_1/Aulas/Figuras/dir_espac_generica.eps}}



Nessa figura temos uma reta qualquer \bgroup\color{black}$s$\egroup no espaço, sobre a qual marcamos aleatoriamente os pontos A e B. Com os elementos geométricos disponíveis construímos três vetores, sendo eles: \bgroup\color{black}$\vec{q_1}$\egroup, \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup e \bgroup\color{black}$\vec{q_3}$\egroup. Esses três vetores foram construídos de modo que se verificasse a seguinte soma vetorial:


\begin{displaymath}
\vec{q_1} + \vec{q_2} = \vec{q_3}
\end{displaymath} (2.3)



Outra particularidade importante é que ambos os vetores \bgroup\color{black}$\vec{q_1}$\egroup e \bgroup\color{black}$\vec{q_3}$\egroup tem sua origem coincidindo com a origem do sistema de eixos coordenados (são o que chamamos de vetores posição).



Como propositadamente o vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup foi construído sobre a reta \bgroup\color{black}$s$\egroup, ao determinar os cossenos diretores de \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup, igualmente determinamos os cossenos diretores de qualquer vetor sobre a reta \bgroup\color{black}$s$\egroup. Note bem: determinando os cossenos diretores de \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup, determinamos também os cossenos diretores de qualquer vetor sobre a reta \bgroup\color{black}$s$\egroup.



E o que precisamos para determinar os cossenos diretores de um vetor qualquer ? Precisamos apenas de sua representação cartesiana, não é mesmo ? uma vez que, os cossenos diretores são definidos pelas seguintes equações:


\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\lambda_x = \frac{Q_x}{\vert Q\vert} \\
\\...
...
\\
\lambda_z = \frac{Q_z}{\vert Q\vert} \\
\\
\end{array}
\end{displaymath} (2.4)



Onde \bgroup\color{black}$\vert Q\vert$\egroup é o módulo de um vetor qualquer \bgroup\color{black}$\vec{Q} = Q_x \vec{i} + Q_y \vec{j} + Q_z \vec{k}$\egroup. Portanto, o que temos a fazer é escrever o vetor \bgroup\color{black}$q_2$\egroup em termos de suas componentes cartesianas. E como faremos isso ?



Uma particularidade dos vetores-posição (como \bgroup\color{black}$\vec{q_1}$\egroup e \bgroup\color{black}$\vec{q_3}$\egroup) é que eles podem ser facilmente decompostos em suas componentes cartesianas, fazendo as coordenadas respectivas do ponto onde está sua extremidade coincidirem com os valores das componentes cartesianas correspondentes. Vejamos o vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_3}$\egroup da Figura 2.5 por exemplo; ele pode ser facilmente decomposto em sua representação cartesiana do seguinte modo:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \vec{q_3} = b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k} \egroup\end{displaymath}



Onde \bgroup\color{black}$b_x$\egroup, \bgroup\color{black}$b_y$\egroup e \bgroup\color{black}$b_z$\egroup são as coordenadas cartesianas do ponto B. Do mesmo modo podemos obter a representar o vetor posição \bgroup\color{black}$\vec{q_1}$\egroup:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \vec{q_1} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} \egroup\end{displaymath}



Onde \bgroup\color{black}$a_x$\egroup, \bgroup\color{black}$a_y$\egroup e \bgroup\color{black}$a_z$\egroup são as coordenadas cartesianas do ponto A. Bom, e o que nos resta descobrir agora ? Agora temos que determinar as componentes cartesianas do vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup. Como não conhecemos os módulos das projeções cartesianas de \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup estes serão as incógnitas a determinar. Assim, escrevendo o vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup em termos de suas componenetes cartesianas, teremos que:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \vec{q_2} = q_x \vec{i} + q_y \vec{j} + q_z \vec{k} \egroup\end{displaymath}



Onde \bgroup\color{black}$q_x$\egroup, \bgroup\color{black}$q_y$\egroup e \bgroup\color{black}$q_z$\egroup são os módulos das projeções cartesianas do vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup. Agora vamos relembrar a Equação (2.3),


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \vec{q_1} + \vec{q_2} = \vec{q_3} \egroup\end{displaymath}



Isolando \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup nessa equação, podemos escrever que:


\begin{displaymath}
\vec{q_2} = \vec{q_3} - \vec{q_1}
\end{displaymath} (2.5)



Escrevendo (2.5) em termos de suas representações cartesianas, termos que:


\begin{displaymath}
q_x \vec{i} + q_y \vec{j} + q_z \vec{k} = ( b_x \vec{i} + b_...
...j} + b_z \vec{k}) - (a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k})
\end{displaymath} (2.6)



A partir de (2.6) podemos escrever que:


\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\\
q_x = b_x - a_x \\
\\
q_y = b_y - a_y \\
\\
q_z = b_z - a_z \\
\\
\end{array}
\end{displaymath} (2.7)



Finalmente obtivemos o vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup em função de suas coordenadas cartesianas. Para obter os cossenos diretores temos ainda que calcular o módulo do vetor \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup. Como já sabemos, o módulo de \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup pode ser determinado assim:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \vert Q\vert = \sqrt{(q_x)^2+(q_y)^2+(q_z)^2} \egroup\end{displaymath}



Pronto !, agora, os cossenos diretores de \bgroup\color{black}$\vec{q_2}$\egroup:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black}
\begin{array}{c}
\\
\lambda_x = \frac{q...
...ambda_z = \frac{q_z}{\vert Q\vert} \\
\\
\end{array}
\egroup\end{displaymath}


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marvinsc 2006-03-29