El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios científicos desarrollados por Erwin Schrodinger, llamádola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.

Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.

2. - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.

3. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:

Y (x, y, z, t) Y *(x, y, z, t) = | Y (x, y, z, t)|².

La energía total de la partícula se expresa como:

E = E_p + E_c

donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética:

Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:

Multiplicando por la función de onda Y (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r:

Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:

Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:

Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente:

Y (x,t) = f (x) f(t)

f (x) : Depende del espacio.

f(t): Depende del tiempo.

Por lo tanto:

agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:

C₀ = C₀

Co es una constante independiente.

La solucion de esta ecuación diferencial es la siguiente:

Co es energía, de acuerdo al resultado:

Una partícula libre es aquella que se encuentra en un medio donde no existen campos externos que distorsionen el campo de materia de la partícula, por lo tanto su energía potencial es cero y su energía total es de movimiento:

De la física cuántica se obtuvo el vector de onda o numero de onda K expresado de la siguiente manera:

Esta es la ecuación diferencial de onda plana

Ec » K²

La solución a la ecuación de Scrödinger independiente del tiempo es:

como Y (r, t) = f (r) f(t), entonces:

Partiendo de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

Con las condiciones:

X = 0 Þ Ep = ¥ Ù f (0) = 0

X = a Þ Ep = ¥ Ù f (a) = 0

Ep = 0 en 0 < x < a pero f (x) es diferente de cero

Dentro de un Pozo de Potencial, la partícula se analiza como libre, entonces es válida la función de onda plana:

f (x) = A₁ sen(d + Kx)

Siguiendo las condiciones de borde se obtiene lo siguiente:

X = 0 Þ Ep = ¥ Þ f (o) = 0

f (o) = 0 = A₁sen ( d + K 0 )

0 = A₁sen d, con A₁ ¹ 0 Þ d = 0

X = a Þ Ep = ¥ y f (a) = 0

f (a) = A₁sen (Ka) = 0 Þ Ka = n p

Por lo tanto la energía de la partícula dentro del pozo de potencial toma solo valores discretos, lo que está de acuerdo con la física cuántica.

Con estos resultados, se obtiene para la función de onda plana la siguiente expresión:

f (x)= Es la amplitud de la probabilidad de encontrar una partícula con la función onda dentro del pozo de potencial.

|f (x) |² es la densidad de esta probabilidad.

Como la partícula se encuentra dentro del pozo entonces la probabilidad de encontrarla ahí es del 100%