V(r): Es el campo vectorial de un fluido
F: Superficie
n: Vector normal a F
n.v: Componente de V(r) normal a dF
dq: Infinitesimal del flujo por unidad de superficie y tiempo
La cantidad infinitesimal del flujo que atraviesa un dF es la componente normal a dF = n V(r)
Se encierra con F a un volumen "v" de elemento dv.
Si la cantidad de fluido que atraviesa la superficie cerrada es diferente de cero, dentro de la superficie debe haber una fuente.
Se tiene que la Divergencia es:
La Divergencia es una medida de la productividad de Fuentes por unidad de volumen, y se puede concluir que:
Si la divV = 0, entonces, el campo V no tiene fuentes que lo generen.
LA EXPRESIÓN DE LA DIVERGENCIA
Se tiene un elemento prismático en un sistema de coordenadas
.- La cantidad de fluido que atraviesa la superficie dF1 para U1 constante es dq = dq(U1, U2,U3).
.- La cantidad de fluido que atraviesa dF1* para U1 + dU1 constante es dq(U1+dU1,U2,U3).
dQ1: Es el flujo total en dirección n1
dQ1= dq(U1,U2,U3) – dq(U1+dU1,U2,U3)
con el diferencial se tiene:
La carga en el volumen disminuye por eso aparece el signo negativo.
en donde dF1 es : dF1 = (h2h3)dU2dU3
El flujo Total del Prisma es
dQ = dQ1+dQ2+dQ3
Entonces se tiene la forma general de la divergencia:
U1 = X ; U2 = Y ; U3 = Z ; h1 = h2 = h3 = 1 ; V1 = Vx ; V2 = Vy ; V3 = Vz
LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO GRADIENTAL
j
: Es una función posición escalar. Por ejemplo el POTENCIALV: grad
j . Esta es una función vectorial
en donde
D es el operador de Laplace.
La forma general para gradj es:
divV(r) = div grad
j
La forma general del Operador de Laplace es
En Coordenadas Cartesianas:
h1 = h2 = h3 = 1; U1 = X ; U2 = Y ; U3 = Z.
EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS
Como punto de partida se tiene el concepto de la divergencia:
Se toma como ejemplo un volumen cúbico:
Se divide el volumen en segmentos infinitesimales:
dv= dU1+dU2+dU3+...+dUn
Para mejor observación se separan los segmentos que conforman el volumen:
En las superficies de contacto interno las normales tienen sentido opuesto, por tanto sus componentes vectoriales dan como resultado CERO.
Solo aparece el flujo a través de la superficie externa del volumen.
TEOREMA de Gauss: Determinar la productividad de todas las fuentes contenidas en un volumen cerrado, es equivalente a determinar el campo que atraviesa toda la superficie de contorno del volumen.
EL TEOREMA DE GAUSS MODIFICADO
A: Vector constante en el espacio.
j
: Función escalar
V =
j A
[
PÁGINA PRINCIPAL] [SIGUIENTE][
CONOCIMIENTOS BÁSICOS] [PRINCIPIOS DEL CAMPO ELÉCTRICO ESTACIONARIO][
PRINCIPIOS DEL CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONARIO] [LAS ECUACIONES DE MAXWELL][
POTECIAL ELECTRODINÁMICO] [PROPAGACIÓN DE ONDAS]