Un PLL es un sistema de feedback
que comprende un comparador de fase, un filtro pasa bajas y un amplificador
de error en la trayectoria de la señal hacia adelante y un oscilador controlado
por tensión (VCO) en la trayectoria de feedback. El diagrama en bloques de un
sistema PLL básico aparece en la figura 1.
Figura 1. Diagrama básico en
bloques de un PLL.
El detector de fase, como su propio nombre indica, es
capaz de determinar el desfase existente entre dos señales. Existe una gran
variedad de ellos, de los que se destacan los siguientes: detectores de fase de
muestreo y retención, detectores de fase de tipo discriminador, detectores de
fase de tipo multiplicador y detectores de fase digitales. Dependiendo de la
aplicación para la que se va a usar el PLL hay que ponerle un detector de fase
u otro, ya que no hay uno que sea el mejor sino que depende del uso que se le
dé al circuito.
Para elegir un detector u otro hay que tener en
cuenta, principalmente, dos factores: el tipo de señal de entrada y el
intervalo de error de fase de entrada en el cual la salida es lineal.
Dependiendo del tipo de señal de entrada que se va a aplicar al PLL se usará un
tipo de detector de fase u otro ya que, por ejemplo, una entrada cosenoidal y
una entrada digital requieren detectores de fase diferentes. Por otra parte, según sea el intervalo de
error de fase de la entrada en el cual la salida es lineal también se utiliza
un detector de fase u otro. Cuanto más
amplio sea dicho intervalo más útil va a ser el detector de fase para controlar
el lazo y además el ruido va a afectar menos.
Los detectores de fase de tipo multiplicador y los digitales son los que
más se utilizan. Los primeros son útiles
cuando la señal de entrada es de tipo cosenoidal y los segundos, como su nombre
indica, son usados para señales de entrada de tipo digital.
Dentro del lazo de realimentación de un PLL aparte de
un filtro y de un detector de fase se encuentra un VCO. Como ya se sabe, los
VCO son osciladores controlados por voltaje. Hay varios tipos de VCO que se
pueden usar en los PLL: osciladores de cristal, osciladores LC y
multivibradores RC. Al igual que con los detectores de fase se va a usar un VCO
u otro dependiendo del tipo de aplicación se le dé al PLL. Los dos factores que se analizan para elegir
el tipo de VCO más adecuado son la estabilidad de fase y el intervalo de
control. La frecuencia del VCO está
sujeta a la señal de entrada, pero la relación de fase de salida del oscilador
con la entrada va a depender de la frecuencia natural del oscilador. Por lo tanto, va a influir mucho el tipo de
VCO que se utilice. La frecuencia natural
de oscilación va a variar con la temperatura, el tiempo y el ruido de la entrada,
produciéndose un cambio en la fase de salida que, si es muy grande, puede
llegar a perderse la sujeción. Por lo
tanto, para tener una buena estabilidad, la frecuencia del VCO debe ser lo
menos variable posible frente a la temperatura, tiempo y ruido. Por otro lado,
es conveniente que el VCO esté relacionado en un rango de frecuencias lo más
grande posible, debido a que cuanto mayor sea el intervalo de control resulta
más fácil para el lazo mantener dicho control.
Quizá, el punto más
importante que hay que comprender cuando se diseña con el PLL es que se trata
de un sistema de retroalimentación y, por lo tanto, está caracterizado
matemáticamente por las mismas ecuaciones que se aplican a los sistemas de
feedback más convencionales. Los
parámetros en las ecuaciones son un poco diferentes, sin embargo, dado que la
señal de error de feedback, en el sistema de enganche de fase, es una señal de
fase antes que una señal de tensión o corriente como es usualmente el caso de
los sistemas de feedback convencionales.
El principio básico de operación de un PLL puede ser explicado brevemente como sigue: sin ninguna señal de entrada aplicada al sistema, la tensión de error Vd(t) es igual a cero (ver la figura 1). El VCO opera a una frecuencia establecida “wo” que es conocida como la frecuencia de operación libre o frecuencia natural. Si se aplica una señal entrante al sistema, el comparador de fase compara la fase y la frecuencia de la entrada con la frecuencia del VCO y genera una tensión de error Ve(t) que está relacionada con la fase y la diferencia de frecuencia entre las dos señales. Este error de tensión es luego filtrado, amplificado y aplicado a la terminal de control del VCO. De esta manera, la tensión de control Vd(t) fuerza a la frecuencia del VCO a variar en una dirección que reduce la diferencia de frecuencia entre “wo” y la señal de entrada. Si la frecuencia de entrada “wi” está suficientemente cerca a “wo”, la naturaleza de feedback del PLL hace que el VCO se sincronice o enganche con la señal de entrada. Una vez enganchado, la frecuencia del VCO es idéntica a la señal de entrada excepto por una diferencia de fase finita. Esta diferencia de fase neta qo es necesaria para generar la tensión de error correctivo Vd(t), para desplazar la frecuencia del VCO de su valor de frecuencia libre a la frecuencia de la señal entrante “wi” y, así, mantener el PLL enganchado. Esta habilidad de auto corrección del sistema también permite al PLL rastrear los cambios de frecuencia de la señal entrante una vez que está enganchado.
El rango de frecuencias sobre las cuales el PLL puede mantener su enganche con una señal entrante es definido como el rango de enganche del sistema. La banda de frecuencias sobre las cuales el PLL puede adquirir enganche con una señal entrante se conoce como el rango de captura del sistema, y nunca es mayor que el rango de enganche.
Cuando la frecuencia de salida del PLL está ligada a
la del generador, en este PLL sencillo, la diferencia de fase entre las dos
frecuencias varía desde 0 a 180 grados, dentro de todo el margen. Existen otros comparadores de fase más
complicados con los que es posible conseguir que la diferencia de fase entre
las dos frecuencias sea siempre 0º, dentro de todo el margen de enganche de
frecuencia.
Otro medio para describir la
operación del PLL es observar que el comparador de fase es, en realidad, un
circuito multiplicador que mezcla la señal entrante con la señal VCO. Esta
mezcla produce las frecuencias de suma y diferencia wi±wo que se muestran en
la figura 1. Cuando el lazo está
enganchado, el VCO duplica la frecuencia entrante de modo que la componente
de diferencia de frecuencia (wi - wo) es cero; por lo tanto, la salida del
comparador de fase contiene una componente de corriente continua (DC). El
filtro pasa bajo elimina la componente de suma de frecuencia (wi + wo) pero
pasa la componente DC, que es luego amplificado y llevado de vuelta al VCO.
Hay que notar que cuando el lazo está enganchado, la componente de diferencia
de frecuencia es siempre DC, de modo que el rango de enganche es independiente
del ancho de banda del filtro pasa bajo.
Considérese ahora el caso en
que el lazo todavía no está enganchado.
El comparador de fase de nuevo mezcla las señales de entrada y VCO para
producir componentes de suma y diferencia de frecuencia. Ahora, sin embargo, la componente de
diferencia puede caer fuera de la frecuencia de corte del filtro pasa bajas y
ser eliminado junto con el componente de suma de frecuencia. Si éste es el
caso, no se transmite ninguna información alrededor del lazo y el VCO
permanece en su frecuencia inicial de operación libre.
Al acercarse la frecuencia
entrante a la del VCO, la frecuencia de la componente “diferencia” disminuye
y se acerca al ancho de banda del filtro pasa bajas. Ahora, algo del componente “diferencia” pasa, lo que tiende a
llevar al VCO hacia la frecuencia de la señal de entrada. Esto, a su vez, disminuye la frecuencia de
la componente de diferencia y permite que se transmita más información a
través del filtro pasa bajo del VCO.
Este es, esencialmente, un mecanismo de feedback positivo que hace que
el VCO salte a engancharse con la señal de entrada.
Teniendo en mente este
mecanismo, el término “rango de captura” puede ser definido, nuevamente, como
el rango de frecuencia centrado alrededor de la frecuencia de operación libre
inicial del VCO sobre el que el lazo puede adquirir enganche con la señal de
entrada. El rango de captura es una
medida de cuán cerca la señal de entrada debe estar, en frecuencia, a la del
VCO para adquirir enganche. El rango de captura puede asumir cualquier valor
dentro del rango de enganche y depende, principalmente, del ancho de banda del
filtro pasa bajas, junto con la ganancia de lazo cerrado del sistema. Es este
fenómeno, captura de la señal, el que le da al lazo sus propiedades selectivas
de frecuencia.
Es importante distinguir el
“rango de captura” del “rango de enganche” el que puede, nuevamente, ser
definido como el rango de frecuencia usualmente centrado alrededor de la
frecuencia de operación libre inicial del VCO, sobre el cual el lazo puede rastrear
la señal de entrada, una vez que se logra el enganche.
Cuando el lazo está enganchado,
la componente de diferencia de frecuencia en la salida del comparador de fase
(tensión de error) es DC y siempre será pasado por el filtro pasa bajas. Así,
el rango de enganche es limitado por el rango de tensión de error que puede ser
generado y producirá la correspondiente desviación de frecuencia del VCO. El
rango de enganche es esencialmente un parámetro de DC y no es afectado por el
ancho de banda del filtro pasa bajas.
El proceso de captura es altamente
complejo y no se presta a un análisis matemático simple.
Sin embargo, una descripción
cualitativa del mecanismo de captura puede darse como sigue: dado que la
frecuencia es la derivada de la fase respecto del tiempo, la frecuencia y los
errores de fase en el lazo pueden relacionarse como:
Donde Aw es la diferencia de
frecuencia instantánea entre la señal de entrada y la frecuencia del VCO y qo es la diferencia de fase entre la señal de entrada y la señal del VCO.
Si el lazo de feedback del
PLL fuera abierto, entre el filtro pasa bajas y la entrada de control del VCO,
entonces, para una condición dada del wo y wi, la salida del comparador de
fase sería una pulsación sinusoidal con una frecuencia fija en Aw. Si wi y wo estuvieran lo suficientemente
cerca, esta pulsación aparecería en la salida del filtro con una atenuación
despreciable.
Ahora, supongamos que el lazo
de feedback es cerrado, conectando la salida del filtro pasa bajo al terminal
de control del VCO. La frecuencia VCO sería modulada por la pulsación. Cuando esto ocurra, Aw se convertirá en una
función del tiempo. Si durante este
proceso de modulación, la frecuencia de VCO se mueve más cerca a wi (o sea,
disminuyendo Aw), entonces dqo/dt disminuye y la
salida del comparador de fase se convierte en una función de tiempo que varía
lentamente. De la misma manera, si el VCO es modulado alejándose de wi,
dqo/dt aumenta y la
tensión de error se convierte en una función de tiempo que varia rápidamente.
Figura 2. Tensión de entrada al VCO.
Bajo esta condición, la forma
de onda de la nota pulsada ya no se ve senoidal; tiene aspecto de una serie
de picos aperiódicos, como los dibujados esquemáticamente en la figura 2. Debido
a su asimetría, la forma de onda de la nota pulsada contiene un componente
finito DC que empuja el valor promedio de la frecuencia del VCO hacia wi,
disminuyendo así Aw. De esta manera, la frecuencia de la nota pulsada disminuye
rápidamente hacia cero, la frecuencia VCO deriva hacia wi y se establece el
enganche. Cuando el sistema está en enganche Aw es igual a cero y sólo resta
una tensión de error DC de estado constante. Efecto del Filtro
Pasa Bajas
En la operación del lazo, el
filtro pasa bajas cumple una función doble:
1.- Al atenuar las
componentes de error de alta frecuencia en la salida del comparador de fase,
mejora las características de rechazo de interferencias.
2.- Provee una memoria de
corto plazo para el PLL y asegura una rápida recaptura de la señal, si el
sistema es sacado del enganche por un ruido transitorio.
El ancho de banda del filtro
pasa bajo tiene los siguientes efectos sobre el rendimiento del sistema:
a) El proceso de
captura se vuelve más lento, y el tiempo de recuperación aumenta.
b) Disminuye el
rango de captura.
c) Las propiedades
de rechazo de interferencias del PLL mejoran, dado que la tensión de error
causada por una frecuencia interfiriente es atenuada más todavía por el filtro
pasa bajo.
d) La respuesta
transitoria del lazo (la respuesta del PLL a cambios repentinos en la
frecuencia de entrada dentro del rango de captura) se vuelve subamortlguada.
Cuando el PLL está fuera del rango
de captura no tienen un comportamiento lineal debido a que la salida del
detector de fase no es proporcional al error de fase y la frecuencia del VCO de
salida tampoco guarda una relación lineal con el voltaje de control. Pero, cuando el PLL está enganchado, los
transitorios de captura no lineales ya no están presentes, por lo tanto, bajo
condiciones de enganche, puede a menudo aproximarse al PLL a un sistema de
control lineal (ver figura 3) y puede ser analizado usando herramientas
matemáticas como la Transformada de Laplace.
Figura 3. Esquema general de un sistema de control
lineal realimentado.
En este caso, es conveniente
usar el error de fase neto en el lazo (Os - Os) como variable del sistema. Cada
uno de los términos de ganancia asociados con los bloques puede ser definidos
como sigue:
Kd: ganancia de conversión
del detector de fase (volt/rad).
F(s): característica de transferencia
del filtro pasa bajo.
A: ganancia de tensión de amplificador.
KO: ganancia de conversión
del VCO (rad/volt-sec).
Dado que el VCO convierte la
tensión en una frecuencia y que la fase es la integral de la frecuencia, el
VCO funciona como un integrador en el lazo de feedback.
Entonces, la función de transferencia del
lazo cerrado es:
La función de transferencia
del lazo abierto para el PLL puede escribirse como:
Donde Kv es la ganancia total
del lazo, o sea, Kv = KO Kd A.
Las raíces del polinomio característico
del sistema (es decir, el denominador de H(s)) pueden ser determinadas
fácilmente por la técnica de “El Lugar de las Raíces”.
A partir de estas ecuaciones, está claro
que la respuesta transitoria y respuesta en frecuencia del lazo es altamente
dependiente de la elección del filtro y su correspondiente característica de
transferencia, F(s).
El caso más simple es el del
lazo de primer orden donde F(s) = 1 (sin filtro). La función de transferencia
de lazo cerrado entonces se convierte en:
Esta función de transferencia
da el lugar geométrico de las raíces como una función de la ganancia total del
lazo Kv y también da a la correspondiente respuesta en frecuencia mostrada en
la figura 4.
Figura 4. Diagrama del lugar de las raíces y respuesta
en frecuencia del lazo cerrado sin filtro.
En el diagrama del lugar de
las raíces, la “x” en el origen representa un polo y se debe a la acción
integradora del VCO. Note que la respuesta en frecuencia es, en realidad, la
amplitud de la componente diferencia de frecuencia versus la frecuencia
moduladora, cuando el PLL es usado para rastrear una señal de entrada de
frecuencia modulada. Dado que no hay un filtro pasa bajo en este caso, también
están presentes componentes de suma de frecuencia en la salida del detector de
fase y deben ser filtrados fuera del lazo, si debe ser medida la componente de
diferencia de frecuencia (FM demodulada).
Con el agregado de un filtro pasa
bajo de polo simple F(s) de la forma:
Entonces, la función de
transferencia queda expresada de la siguiente forma
El PLL se convierte en un sistema de
segundo orden. Los ceros de la ecuación
característica, en función de Kv, permiten obtener el diagrama del lugar de las
raíces para cada selección de R y C como
muestra en la figura 5.
Figura 5. Diagrama del lugar de las raíces y respuesta
en frecuencia del lazo cerrado con filtro.
Aquí, de nuevo, tenemos un
polo de lazo abierto en el origen, debido a la acción integradora del VCO y
otro polo de lazo abierto en una posición igual a -1/RC donde RC es la
constante de tiempo del filtro pasa bajo.
Se pueden hacer las siguientes
observaciones de las características del lugar geométrico de raíz de la figura
5.
a) Al aumentar la
ganancia del lazo Kv para una elección dada de RC, las partes imaginarias de
los polos de lazo cerrado aumentan; así, la frecuencia natural del lazo aumenta
y el lazo se vuelve más y más subamortiguado.
b) Si se aumenta la
constante de tiempo del filtro, la parte real de los polos del lazo cerrado se
vuelve más pequeña y el amortiguamiento del lazo es reducido.
Como en cualquier sistema práctico
de realimentación, desplazamientos excesivos o polos no dominantes, asociados
con los bloques dentro del PLL, pueden provocar que los lugares geométricos de
las raíces se tuerzan hacia el medio plano de la derecha, como muestra la línea
azul de la figura 5. Es probable que esto suceda si la ganancia del lazo o la
constante de tiempo del filtro son demasiado grandes y puede hacer que el lazo
produzca oscilaciones sostenidas. El problema de la estabilidad marginal puede
ser eliminado usando un tipo de filtro de dirección de retraso (lag-lead), como
se indica en la figura 6. Este tipo de filtro tiene la función de
transferencia:
Figura 6. Efecto del filtro de dirección de retraso.
Mediante la elección adecuada
de R2, este tipo de filtro restringe el lugar geométrico de raíz al plano de la
mitad izquierda y asegura la estabilidad.
El filtro de dirección de retraso da una respuesta en frecuencia, que
depende del amortiguamiento y puede, ahora, ser controlado mediante el ajuste
adecuado de t1 y t2. En la práctica, este tipo de
filtro es importante porque permite que se use el lazo con una respuesta
intermedia entre los lazos de primer orden y los de segundo orden, y
proporciona un control adicional sobre la respuesta transitoria del
lazo. Si R2 = 0, el lazo se comporta
como un lazo de primer orden debido a una cancelación de polo y cero. Sin
embargo, a medida que se acerca la operación de primer orden, el ancho de banda
de ruido aumenta y el rechazo de interferencia disminuye, dado que los
componentes de error de alta frecuencia en el lazo ahora son atenuados en menor
grado.
En términos de expresiones de
ganancia básica en el sistema, se puede demostrar que el rango de lazo del
PLL, wL, es numéricamente igual a la ganancia del lazo DC:
Dado que el rango de captura
wc denota una condición transitoria, no es derivada tan fácilmente como el
rango del lazo. Sin embargo, una expresión aproximada para el rango de captura
se puede escribir como:
Donde F(jwc) es la respuesta
de amplitud del filtro pasa bajo en w = wL.
Hay que observar que en todo momento
el rango de captura es más pequeño que el rango de enganche.
Figura 7. Función de transferencia Frecuencia Vs.
Tensión del PLL.
El rango de frecuencias sobre las cuales
el PLL puede mantener su enganche con una señal entrante es definido como el
“Rango de Enganche” o “Rango del lazo” del sistema. La banda de frecuencias sobre las cuales el PLL puede adquirir
enganche con una señal entrante se conoce como el “Rango de Captura” del sistema,
y nunca es mayor que el “rango de enganche”. Se supone que la entrada es una onda senoidal cuya
frecuencia es barrida lentamente sobre un amplio rango de frecuencia. La escala
vertical es la tensión de error del lazo (ver la figura 7). Se seleccionan los componentes del oscilador
controlado por tensión, de forma que se produzca la siguiente característica:
El multivibrador estable se puede limitar para que oscile entre w4 y w2,
limitando la tensión en la entrada. Si se desconecta el generador de señales, el VCO
oscilará a una frecuencia de wo, ya que la salida del filtro es 0. Si al conectar el generador, se ajusta su
frecuencia a un nivel por debajo de w4, el oscilador controlado por tensión
seguirá oscilando a wo, porque la diferencia de frecuencias es muy grande y el
filtro pasa bajos no dejará pasar apenas señal. Si la frecuencia del generador aumenta con el tiempo,
y se alcanzan aproximadamente w1, la frecuencia del VCO da un salto brusco y se
pone exactamente igual que la frecuencia del generador. Si continúa aumentando
la frecuencia, el oscilador seguirá exactamente a la del generador, hasta pasar
de w2 en que vuelve a oscilar a una frecuencia de salida wo. Si se va en sentido contrario, bajando la frecuencia
del generador a partir de un nivel por encima de w2, el oscilador controlado
por tensión se engancha desde w3 hasta w4. El margen de frecuencia desde
los w1 hasta los w3 es el rango de captura y, el margen desde w2 hasta w4 es el
rango de enganche. Obsérvese, en la
figura 7, que el margen de captura es menor que el de enganche.
Como indican las características de
transferencia de la figura 7, el sistema PLL tiene una selectividad inherente
en la frecuencia central establecida por la frecuencia de operación libre del
VCO (wo); responderá solamente a las frecuencias de señal de entrada que estén
separadas de wo por menos que wC o wL, dependiendo de si el lazo comienza con
o sin una condición inicial de enganche. La linealidad de las características
de la conversión frecuencia a tensión del PLL está determinada solamente por
la ganancia de conversión del VCO. Por lo tanto, en la mayoría de las
aplicaciones PLL, se requiere que el VCO tenga una característica de
transferencia voltaje a frecuencia altamente lineal. [DIAGRAMAS DEL LUGAR DE LA RAÍZ][CIRCUITO OSCILANTE][FILTROS
ACTIVOS] [PRINCIPIO DE
FUNCIONAMIENTO DEL PLL][PLL DEMODULADOR DE FM] Análisis
Lineal de la Condición de Enganche-Rastreo de Frecuencia
