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El Principio de Funcionamiento del PLL

 

 

Un PLL es un sistema de feed­back que comprende un comparador de fase, un filtro pasa bajas y un amplificador de error en la trayectoria de la señal hacia adelante y un oscilador controlado por tensión (VCO) en la tra­yectoria de feedback. El diagrama en bloques de un sistema PLL básico apa­rece en la figura 1.

 

 

 

Figura 1. Diagrama básico en bloques de un PLL.

 

El detector de fase, como su propio nombre indica, es capaz de determinar el desfase existente entre dos señales. Existe una gran variedad de ellos, de los que se destacan los siguientes: detectores de fase de muestreo y retención, detectores de fase de tipo discriminador, detectores de fase de tipo multiplicador y detectores de fase digitales. Dependiendo de la aplicación para la que se va a usar el PLL hay que ponerle un detector de fase u otro, ya que no hay uno que sea el mejor sino que depende del uso que se le dé al circuito.

Para elegir un detector u otro hay que tener en cuenta, principalmente, dos factores: el tipo de señal de entrada y el intervalo de error de fase de entrada en el cual la salida es lineal. Dependiendo del tipo de señal de entrada que se va a aplicar al PLL se usará un tipo de detector de fase u otro ya que, por ejemplo, una entrada cosenoidal y una entrada digital requieren detectores de fase diferentes.  Por otra parte, según sea el intervalo de error de fase de la entrada en el cual la salida es lineal también se utiliza un detector de fase u otro.  Cuanto más amplio sea dicho intervalo más útil va a ser el detector de fase para controlar el lazo y además el ruido va a afectar menos.  Los detectores de fase de tipo multiplicador y los digitales son los que más se utilizan.  Los primeros son útiles cuando la señal de entrada es de tipo cosenoidal y los segundos, como su nombre indica, son usados para señales de entrada de tipo digital.

Dentro del lazo de realimentación de un PLL aparte de un filtro y de un detector de fase se encuentra un VCO. Como ya se sabe, los VCO son osciladores controlados por voltaje. Hay varios tipos de VCO que se pueden usar en los PLL: osciladores de cristal, osciladores LC y multivibradores RC. Al igual que con los detectores de fase se va a usar un VCO u otro dependiendo del tipo de aplicación se le dé al PLL.  Los dos factores que se analizan para elegir el tipo de VCO más adecuado son la estabilidad de fase y el intervalo de control.  La frecuencia del VCO está sujeta a la señal de entrada, pero la relación de fase de salida del oscilador con la entrada va a depender de la frecuencia natural del oscilador.  Por lo tanto, va a influir mucho el tipo de VCO que se utilice.  La frecuencia natural de oscilación va a variar con la temperatura, el tiempo y el ruido de la entrada, produciéndose un cambio en la fase de salida que, si es muy grande, puede llegar a perderse la sujeción.  Por lo tanto, para tener una buena estabilidad, la frecuencia del VCO debe ser lo menos variable posible frente a la temperatura, tiempo y ruido. Por otro lado, es conveniente que el VCO esté relacionado en un rango de frecuencias lo más grande posible, debido a que cuanto mayor sea el intervalo de control resulta más fácil para el lazo mantener dicho control.

Tal vez el punto más importante que hay que comprender cuando se diseña con el PLL es que se trata de un siste­ma de retroalimentación y, por lo tanto, está ca­racterizado matemáticamente por las mismas ecuaciones que se aplican a los sistemas de feedback más con­vencionales.  Los parámetros en las ecuaciones son un poco diferentes, sin embargo, dado que la señal de error de feedback, en el siste­ma de enganche de fase, es una señal de fase antes que una señal de tensión o corrien­te como es usualmente el caso de los sistemas de feedback convencionales.

 

 

Operación de Lazo

 

El principio básico de ope­ración de un PLL puede ser ex­plicado brevemente como si­gue: sin ninguna señal de entrada aplicada al sistema, la tensión de error Vd(t) es igual a cero (ver la figura 1).  El VCO opera a una frecuencia establecida “wo” que es conocida como la frecuencia de operación libre o frecuencia natural. Si se aplica una señal entrante al sistema, el comparador de fase compara la fase y la frecuencia de la entrada con la fre­cuencia del VCO y genera una tensión de error Ve(t) que está relacionada con la fase y la diferencia de frecuencia entre las dos señales.  Este error de tensión es luego filtrado, amplificado y aplicado a la terminal de control del VCO.  De esta manera, la tensión de control Vd(t) fuerza a la frecuencia del VCO a variar en una dirección que reduce la diferen­cia de frecuencia entre “wo” y la señal de entrada. Si la frecuencia de entrada “wi” está suficientemente cerca a “wo”, la na­turaleza de feedback del PLL hace que el VCO se sincronice o enganche con la señal de entrada.  Una vez enganchado, la frecuencia del VCO es idéntica a la señal de entrada excepto por una dife­rencia de fase finita.  Esta diferencia de fase neta qo es necesaria para generar la tensión de error correctivo Vd(t), para desplazar la frecuencia del VCO de su valor de frecuencia libre a la frecuencia de la señal entrante “wi” y, así, mantener el PLL enganchado.  Esta habilidad de auto corrección del sistema también permite al PLL rastrear los cam­bios de frecuencia de la señal entrante una vez que está enganchado.

 

El rango de frecuencias sobre las cuales el PLL puede mantener su enganche con una señal entrante es definido como el rango de enganche del sistema.  La banda de frecuencias sobre las cuales el PLL puede adquirir enganche con una señal entrante se conoce como el rango de captura del sistema, y nunca es mayor que el rango de enganche.

Cuando la frecuencia de salida del PLL está ligada a la del generador, en este PLL sencillo, la diferencia de fase entre las dos frecuencias varía desde 0 a 180 grados, dentro de todo el margen.  Existen otros comparadores de fase más complicados con los que es posible conseguir que la diferencia de fase entre las dos frecuencias sea siempre 0º, dentro de todo el margen de enganche de frecuencia.

Otro medio para describir la opera­ción del PLL es observar que el compa­rador de fase es, en realidad, un circui­to multiplicador que mezcla la señal entrante con la señal VCO. Esta mezcla produce las frecuencias de suma y di­ferencia wi±wo que se muestran en la figura 1.  Cuando el lazo está engancha­do, el VCO duplica la frecuencia en­trante de modo que la componente de diferencia de frecuencia (wi - wo) es ce­ro; por lo tanto, la salida del compara­dor de fase contiene una componente de corriente continua (DC). El filtro pasa bajo elimina la componente de suma de frecuencia (wi + wo) pero pasa la com­ponente DC, que es luego amplificado y llevado de vuelta al VCO. Hay que notar que cuando el lazo está enganchado, la componente de diferencia de frecuencia es siempre DC, de modo que el rango de enganche es independiente del ancho de banda del filtro pasa bajo.

 

 

Enganche y Captura

 

Considérese ahora el caso en que el lazo todavía no está enganchado.  El comparador de fase de nuevo mezcla las señales de entrada y VCO para pro­ducir componentes de suma y diferen­cia de frecuencia.  Ahora, sin embargo, la componente de diferencia puede caer fuera de la frecuencia de corte del filtro pasa bajas y ser eliminado junto con el componente de suma de fre­cuencia. Si éste es el caso, no se transmite ninguna infor­mación alrededor del lazo y el VCO permanece en su fre­cuencia inicial de operación li­bre.

 

Al acercarse la frecuencia entrante a la del VCO, la fre­cuencia de la componente “dife­rencia” disminuye y se acerca al ancho de banda del filtro pasa ba­jas.  Ahora, algo del componente “dife­rencia” pasa, lo que tiende a llevar al VCO hacia la frecuencia de la señal de entrada.  Esto, a su vez, disminuye la frecuencia de la componente de diferen­cia y permite que se transmita más in­formación a través del filtro pasa bajo del VCO.  Este es, esencialmente, un me­canismo de feedback positivo que hace que el VCO salte a engancharse con la señal de entrada.

 

Teniendo en mente este mecanismo, el término “rango de captura” puede ser definido, nuevamente, como el ran­go de frecuencia centrado alrededor de la frecuencia de operación libre inicial del VCO sobre el que el lazo puede ad­quirir enganche con la señal de entra­da.  El rango de captura es una medida de cuán cerca la señal de entrada debe estar, en frecuencia, a la del VCO para adquirir enganche. El rango de captu­ra puede asumir cualquier valor den­tro del rango de enganche y depende, principalmente, del ancho de banda del filtro pasa bajas, junto con la ganancia de lazo cerrado del sistema. Es este fe­nómeno, captura de la señal, el que le da al lazo sus propiedades selectivas de frecuencia.

 

Es importante distinguir el “rango de captura” del “rango de enganche” el que puede, nuevamente, ser definido como el rango de frecuencia usualmen­te centrado alrededor de la frecuencia de operación libre inicial del VCO, so­bre el cual el lazo puede ras­trear la señal de en­trada, una vez que se logra el enganche.

 

Cuando el lazo está en­ganchado, la componente de diferencia de frecuencia en la salida del comparador de fase (tensión de error) es DC y siempre será pasado por el filtro pasa bajas. Así, el rango de enganche es limitado por el rango de tensión de error que puede ser generado y producirá la correspondiente desviación de frecuencia del VCO. El rango de enganche es esencialmente un paráme­tro de DC y no es afectado por el ancho de banda del filtro pasa bajas.

 

 

El Transitorio de Captura

 

El proceso de captura es altamente complejo y no se presta a un análisis matemático simple.

 

Sin embargo, una descripción cuali­tativa del mecanismo de captura puede darse como sigue: dado que la frecuen­cia es la derivada de la fase respecto del tiempo, la frecuencia y los errores de fase en el lazo pueden relacionarse como:

 

 

 

 

Donde Aw es la diferencia de fre­cuencia instantánea entre la señal de entrada y la frecuencia del VCO y qo es la diferencia de fase entre la señal de entrada y la señal del VCO.

 

Si el lazo de feedback del PLL fuera abierto, entre el filtro pasa bajas y la en­trada de control del VCO, entonces, para una condición dada del wo y wi, la sali­da del comparador de fase sería una pulsación sinusoidal con una frecuencia fija en Aw.  Si wi y wo estuvieran lo sufi­cientemente cerca, esta pulsación aparecería en la salida del filtro con una atenuación despreciable.

 

Ahora supongamos que el lazo de feedback es cerrado, conectando la sa­lida del filtro pasa bajo al terminal de control del VCO. La frecuencia VCO se­ría modulada por la pulsación.  Cuando esto ocurra, Aw se convertirá en una función del tiempo.  Si durante este proceso de modulación, la frecuencia de VCO se mueve más cerca a wi (o sea, disminuyendo Aw), entonces dqo/dt disminuye y la salida del com­parador de fase se convierte en una función de tiempo que varía lentamen­te. De la misma manera, si el VCO es modulado alejándose de wi, dqo/dt aumenta y la tensión de error se con­vierte en una función de tiempo que varia rápidamente.

 

 

 

Figura 2.  Tensión de entrada al VCO

 

 

Bajo esta condición, la forma de on­da de la nota pulsada ya no se ve se­noidal; tiene aspecto de una serie de picos aperiódicos, como los dibujados esquemáticamente en la figura 2. Debi­do a su asimetría, la forma de onda de la nota pulsada contiene un compo­nente finito DC que empuja el valor promedio de la frecuencia del VCO hacia wi, disminu­yendo así Aw. De esta manera, la fre­cuencia de la nota pulsada dis­minuye rápidamente hacia cero, la frecuencia VCO deriva hacia wi y se establece el enganche. Cuando el sistema está en en­ganche Aw es igual a cero y sólo resta una tensión de error DC de estado constante.

 

 

Efecto del Filtro Pasa Bajas

 

En la operación del lazo, el filtro pasa bajas cumple una fun­ción doble:

 

1.- Al atenuar las componentes de error de alta frecuencia en la salida del com­parador de fase, mejora las ca­racterísticas de rechazo de inter­ferencias.

 

2.- Provee una memoria de corto plazo para el PLL y asegura una rápida recap­tura de la señal, si el sistema es sacado del enganche por un rui­do transitorio.

 

El ancho de ban­da del filtro pasa bajo tiene los siguientes efectos sobre el rendi­miento del sistema:

 

a) El proceso de captura se vuelve más lento, y el tiempo de recuperación aumenta.

b) Disminuye el rango de captura.

c) Las propiedades de rechazo de in­terferencias del PLL mejoran, dado que la tensión de error causada por una frecuencia interfiriente es atenuada más todavía por el filtro pasa bajo.

d) La respuesta transitoria del lazo (la respuesta del PLL a cambios repentinos en la frecuencia de entrada den­tro del rango de captura) se vuelve subamortlguada.

 

 

Análisis Lineal de la Condición de Enganche-Rastreo de Frecuencia

 

Cuando el PLL está fuera del rango de captura no tienen un comportamiento lineal debido a que la salida del detector de fase no es proporcional al error de fase y la frecuencia del VCO de salida tampoco guarda una relación lineal con el voltaje de control.  Pero, cuando el PLL está enganchado, los transitorios de captura no lineales ya no están presentes, por lo tanto, bajo condiciones de enganche, puede a me­nudo aproximarse al PLL a un sistema de control lineal (ver figura 3) y puede ser analizado usando herra­mientas matemáticas como la Trans­formada de Laplace.

 

 

 

Figura 3.  Esquema general de un sistema de control lineal realimentado.

 

 

En este caso, es conveniente usar el error de fase neto en el lazo (Os - Os) como variable del sistema. Cada uno de los términos de ga­nancia asociados con los bloques puede ser definidos como sigue:

 

 

Kd: ganancia de conversión del detector de fase (volt/rad).

 

F(s): característica de trans­ferencia del filtro pasa bajo.

 

A: ganancia de tensión de am­plificador.

 

KO: ganancia de conversión del VCO (rad/volt-sec).

 

 

Dado que el VCO con­vierte la tensión en una frecuencia y que la fase es la integral de la fre­cuencia, el VCO funciona como un in­tegrador en el lazo de feedback.

 

Entonces, la función de transferencia del lazo cerrado es:

 

 

 

 

La función de transferencia del lazo abierto para el PLL puede escribirse co­mo:

 

 

 

 

Donde Kv es la ganancia total del la­zo, o sea, Kv = KO Kd A.

 

Las raíces del polinomio característi­co del sistema (es decir, el denominador de H(s)) pueden ser determinadas fácilmente por la técnica de “El Lugar de las Raíces”.

 

A partir de estas ecuaciones, está claro que la respuesta transitoria y respuesta en frecuencia del lazo es altamente dependiente de la elección del filtro y su correspondiente caracte­rística de transferencia, F(s).

 

El caso más simple es el del lazo de primer orden donde F(s) = 1 (sin filtro). La función de transferencia de lazo ce­rrado entonces se convierte en:

 

 

 

 

Esta función de transferencia da el lugar geométrico de las raíces como una función de la ganancia total del lazo Kv y también da a la correspondiente respuesta en fre­cuencia mostrada en la figura 4.

 

 

 

Figura 4.  Diagrama del lugar de las raíces y respuesta en frecuencia del lazo cerrado sin filtro.

 

 

En el diagrama del lugar de las raíces, la “x” en el origen representa un polo y se debe a la acción integradora del VCO. Note que la respuesta en frecuen­cia es, en realidad, la amplitud de la com­ponente diferencia de frecuencia versus la frecuencia moduladora, cuando el PLL es usado para rastrear una señal de entrada de frecuencia modulada. Dado que no hay un filtro pasa bajo en este caso, también están presentes componentes de suma de frecuencia en la salida del detector de fase y deben ser filtrados fuera del lazo, si debe ser medida la componente de diferencia de frecuencia (FM demodulada).

 

Con el agregado de un filtro pasa bajo de polo simple F(s) de la forma:

 

 

 

 

Entonces, la función de transferencia queda expresada de la siguiente forma

 

 

 

 

El PLL se con­vierte en un sistema de segundo orden.  Los ceros de la ecuación característica, en función de Kv, permiten obtener el diagrama del lugar de las raíces para cada selección de R y C como  muestra en la figura 5.

 

 

 

Figura 5.  Diagrama del lugar de las raíces y respuesta en frecuencia del lazo cerrado con filtro.

 

 

Aquí, de nuevo, tenemos un polo de lazo abierto en el origen, debido a la acción integradora del VCO y otro polo de lazo abierto en una posi­ción igual a -1/RC donde RC es la constante de tiempo del filtro pasa bajo.

 

Se pueden hacer las siguientes observaciones de las característi­cas del lugar geométrico de raíz de la figura 5.

 

 

a)     Al aumentar la ganancia del lazo Kv para una elección dada de RC, las partes imaginarias de los polos de lazo cerrado aumentan; así, la frecuen­cia natural del lazo aumenta y el lazo se vuelve más y más subamortiguado.

 

b)     Si se aumenta la constante de tiempo del filtro, la parte real de los po­los del lazo cerrado se vuelve más pe­queña y el amortiguamiento del lazo es reducido.

 

 

Como en cualquier sistema práctico de realimentación, desplazamientos ex­cesivos o polos no dominantes, asocia­dos con los bloques dentro del PLL, pueden provocar que los lugares geo­métricos de las raíces se tuerzan hacia el medio plano de la derecha, como muestra la línea azul de la figura 5. Es probable que esto suceda si la ganancia del lazo o la constante de tiempo del filtro son demasiado gran­des y puede hacer que el lazo produzca oscilaciones sostenidas. El problema de la estabilidad marginal puede ser eliminado usando un tipo de filtro de dirección de retraso (lag-lead), como se indica en la figura 6. Este tipo de filtro tiene la función de transferencia:

 

 

 

Donde t1 = R1C y t2 = R2C

 

 

 

Figura 6.  Efecto del filtro de dirección de retraso.

 

 

Mediante la elección adecuada de R2, este tipo de filtro restringe el lugar geométrico de raíz al plano de la mitad izquierda y asegura la estabilidad.  El filtro de dirección de retraso da una respuesta en fre­cuencia, que depende del amorti­guamiento y puede, ahora, ser con­trolado mediante el ajuste adecuado de t1 y t2.  En la prácti­ca, este tipo de filtro es importante porque permite que se use el lazo con una respuesta intermedia entre los lazos de primer orden y los de segundo or­den, y proporciona un control adi­cional sobre la respuesta transito­ria del lazo.  Si R2 = 0, el lazo se comporta como un lazo de primer orden debido a una cancelación de polo y cero. Sin embargo, a medida que se acerca la operación de primer orden, el ancho de ban­da de ruido aumenta y el rechazo de interferencia disminuye, dado que los componentes de error de alta frecuencia en el lazo ahora son atenuados en menor grado.

 

En términos de expresiones de ga­nancia básica en el sistema, se puede demostrar que el rango de lazo del PLL, wL, es numéricamente igual a la ganan­cia del lazo DC:

 

 

2wL = 4pfL = 2Kv

 

 

Dado que el rango de captura wc denota una condición transitoria, no es derivada tan fácilmente como el rango del lazo. Sin embargo, una expresión aproximada para el rango de captura se puede escribir como:

 

 

2wc = 4pfL = 2Kv.F(jwc)

 

 

Donde F(jwc) es la respuesta de am­plitud del filtro pasa bajo en w = wL.

 

Hay que observar que en todo momento el rango de captura es más pequeño que el rango de enganche.

 

 

 

Figura 7.  Función de transferencia Frecuencia Vs. Tensión del PLL.

 

 

El rango de frecuencias sobre las cuales el PLL puede mantener su enganche con una señal entrante es definido como el “Rango de Enganche” o “Rango del lazo” del sistema.  La banda de frecuencias sobre las cuales el PLL puede adquirir enganche con una señal entrante se conoce como el “Rango de Captura” del sistema, y nunca es mayor que el “rango de enganche”.

Se supone que la en­trada es una onda senoidal cuya fre­cuencia es barrida lentamente sobre un amplio rango de frecuencia. La es­cala vertical es la tensión de error del lazo (ver la figura 7).  Se seleccionan los componentes del oscilador controlado por tensión, de forma que se produzca la siguiente característica: El multivibrador estable se puede limitar para que oscile entre w4 y w2, limitando la tensión en la entrada.

Si se desconecta el generador de señales, el VCO oscilará a una frecuencia de wo, ya que la salida del filtro es 0.  Si al conectar el generador, se ajusta su frecuencia a un nivel por debajo de w4, el oscilador controlado por tensión seguirá oscilando a wo, porque la diferencia de frecuencias es muy grande y el filtro pasa bajos no dejará pasar apenas señal.

Si la frecuencia del generador aumenta con el tiempo, y se alcanzan aproximadamente w1, la frecuencia del VCO da un salto brusco y se pone exactamente igual que la frecuencia del generador. Si continúa aumentando la frecuencia, el oscilador seguirá exactamente a la del generador, hasta pasar de w2 en que vuelve a oscilar a una frecuencia de salida wo.

Si se va en sentido contrario, bajando la frecuencia del generador a partir de un nivel por encima de w2, el oscilador controlado por tensión se engancha desde w3 hasta w4.

El margen de frecuencia desde los w1 hasta los w3 es el rango de captura y, el margen desde w2 hasta w4 es el rango de enganche.  Obsérvese, en la figura 7, que el margen de captura es menor que el de enganche.

 

 

 

 

Como indican las ca­racterísticas de transferencia de la figura 7, el sistema PLL tiene una selectividad inherente en la fre­cuencia central establecida por la frecuencia de operación libre del VCO (wo); responderá solamente a las frecuencias de señal de entrada que estén separadas de wo por me­nos que wC o wL, dependiendo de si el lazo comienza con o sin una condición inicial de enganche. La linealidad de las características de la conversión frecuencia a tensión del PLL está determinada solamen­te por la ganancia de conversión del VCO. Por lo tanto, en la mayo­ría de las aplicaciones PLL, se requiere que el VCO tenga una ca­racterística de transferencia voltaje a frecuencia altamente lineal.

 

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