RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS DE CONTROL

Objetivos

• Explorara nuevos métodos que permiten la obtención de gráficos (el de Bode y el de Nyquist) para determinar la estabilidad de un sistema, y cuya realización resulta tediosa.
• Conocer más aplicaciones de comandos ya trabajados como el rltool
• Configurar diferentes modelos matemáticos de sistemas de control mediante representaciones por función de transferencia
• Analizar la respuesta en frecuencia en el diseño de sistemas de control

Sistema

Figura 1 Sistema

 Para el desarrollo del análisis del sistema que se encuentra planteado en la figura, escogimos como controlador uno de tipo proporcional, y se hicieron algunos ensayos con distintos valores para éste controlador. Por defecto el valor de éste recuadro es de 1, y al cambiarlo por valores mayores se tenían en algunos casos sobrepicos que sobrepasaban el 20% del valor tope. Al bajar mucho el valor del controlador se elimina la aparición de algún sobrepico, pero la curva de respuesta del sistema muestra una curva suave que se demora demasiado en ser estable. Por los motivos anteriormente mencionados se escogió un valor cercano a la unidad. En nuestro caso hemos tomado C=0.8..

Obtención de resultados

 Usando las herramientas Bode, Nyquist y rltool se crearon gráficos luego de definir el valor del controlador y de la función de transferencia propia del sistema que se ésta trabajando. Estos gráficos característicos de cada método, permite ver la respuesta en frecuencia así como la estabilidad del sistema de acuerdo al valor del controlador, que en el caso de éste sistema, es el único variable.

Figura 2 Diagrama de Bode para amplitud y fase

Figura 3 Diagrama de Nyquist

Análisis de resultados

Para aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist, observamos primero que el sistema es estable en lazo abierto; efectivamente, los polos del sistema se encuentran en -2 y en -5; esto es, a la izquierda del eje imaginario; por lo tanto, no hay ningún polo de dicha función encerrado por el contorno de Nyquist y por lo tanto P₀=0.

Ahora, según la proyección obtenida, N=0 (ver figura 3.). Es decir, el número de circunvalaciones efectuadas por la proyección sobre el punto (-1, 0) es nulo. Se cumple entonces que N = -P₀ = 0 y el sistema será pues estable en lazo cerrado.

En cuanto a frecuencia se nota que el sistema es de 2do orden, ya que por ejemplo en la gráfica de Bode de magnitud, ésta en media década (que es lo que se alcanza a apreciar en la gráfica) ha descendido cerca de 20dB, por lo que seguramente en la otra media década completara otros 20dB. Sin dudas un diagrama de Bode, nos permitir identificar muchos aspectos del sistema en cuanto al orden del sistema, así mismo establecer el comportamiento a las distintas frecuencias en que puede trabajar el sistema de acuerdo al numero de polos o ceros que la función de transferencia contenga.

Bibliografía

• Rodríguez, Jesús E. Introducción a la ingeniería del control automático. McGraw-Hill, México 1998.