Regulación Automática III
Primer parcial 2001

Problema 1

Considérese el problema no lineal

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx_{1}}{dt} & = & 2x_{2}-x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\ \frac{dx_{2}}{dt} & = & x_{1}(x²_{1}-1)+x²_{2}(x_{1}-x_{2}) \end{eqnarray*}$$

1. Encontrar una función de Lyapunov que garantice la estabilidad asintótica del sistema en el origen
2. Utilizando una función de Lyapunov anterior encontrar una región de estabilidad

(3 Puntos)

Problema 2

Determinar la ley de control $u^{*}(t)$ que minimiza la función de coste

$$\begin{eqnarray*} J & = & \int _{0}^{T}(x_{2}^{2}+u^{2})dt \end{eqnarray*}$$

Para el sistema

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx_{1}}{dt} & = & -x_{1}+u\\ \frac{dx_{2}}{dt} & = & x_{1} \end{eqnarray*}$$

El estado inicial $x(0)$ y el tiempo $T$ son conocidos, pero el estado final $x(T)$ es libre

1. La entrada no está restringida
2. La entrada está restringida $\left\vert u\right\vert\leq 1$

(4 Puntos)

Problema 3

Se desea controlar una planta que tiene como función de transferencia

$$\begin{eqnarray*} G(s) & = & \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{1+s^{2}} \end{eqnarray*}$$

Determinar la ley de control $u(t)=-k^{*}(t)(r(t)-y(t))$que minimiza la función de coste

$$\begin{eqnarray*} J & = & \int _{0}^{T}((q(r-y))^{2}+u^{2})dt \end{eqnarray*}$$

Sabiendo que la señal de referencia es $r(t)=Acos(t)$
(3 Puntos)

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