Construeren en redeneren

Trefwoorden

middelloodlijn, scherphoekige driehoek, stomphoekige driehoek, loodlijn, hoogtelijn, hoogtepunt, deellijn, Z-figuur, F-figuur, middenparallel, zwaartelijn, zwaartepunt

inhoud van dit hoofdstuk

De introductie van de bijzondere lijnen in een driehoek en de eigenschappen van hoeken staan in dit hoofdstuk centraal. Zo komen de middelloodlijn, de hoogtelijn, de deellijn, de middenparallel en de zwaartelijn aan bod. Bij constructies komt het redeneren met de eigenschappen van meetkundige figuren naar voren. Alle meetkunde uit klas 1 en klas 2 wordt in dit hoofdstuk gebruikt.

In de Plusparagraaf krijgen de ingeschreven en de omgeschreven cirkel aandacht. Dat zullen leerlingen als vrij lastig ervaren want het gaat om abstract geformuleerde problemen.

Door de wijzigingen in de tweede fase is voor leerlingen die naar het vwo gaan, het belang van redeneren toegenomen. In deel 3 vwo komt daarom nog een hoofdstuk waarin het meetkundig redeneren veel aandacht krijgt.

Werken met dit hoofdstuk

Instap Tekenen

Het is een verrassende ontdekking dat een timmerman met een tekenhaak een figuur kan construeren die op een cirkel lijkt. Vervolgens beredeneren dat de ontstane figuur inderdaad een cirkel is, geeft een mooie inleiding op dit hoofdstuk.

10.1 Middelloodlijn

Na het vastleggen van het begrip middelloodlijn volgt de constructie van de middellloodlijn. Daarna blijkt dat de drie middelloodlijnen in een driehoek door één punt gaan. Omdat het makkelijk is de situaties in rechthoekige, scherphoekige en stomphoekige driehoeken apart te bekijken worden de laatste twee begrippen vastgelegd.

10.2 Hoogtelijn

Dat de hoogtelijnen in een driehoek ook door één punt gaan, kan op een elegante manier aangetoond worden. Daarvoor wordt om de driehoek waar de hoogtelijnen in getekend zijn op een speciale manier een andere driehoek getekend. De hoogtelijnen van de eerste driehoek zijn dan de zwaartelijnen in de tweede driehoek geworden. Dankzij het resultaat uit de eerste paragraaf is het bewijs nu geleverd.

10.3 Deellijn

De opbouw van de eerste paragraaf is hier terug te vinden. Eerst het begrip deellijn vastleggen, dan de deellijn construeren en vervolgens beredeneren dat de drie deellijnen in een driehoek door één punt gaan.\

10.4 Middenparallel

Hier worden F-figuren en Z-figuren bekeken met de daarbij horende paren gelijke hoeken. In een driehoek waarin een middenparallel getekend wordt, komen ook paren gelijke hoeken voor. Daarmee zijn wat berekeningen mogelijk.

10.5 Zwaartelijn

Door het hoekpunt van een driehoek kun je een lijn tekenen waardoor de driehoek op je vinger kan balanceren. Intuïtief denken veel leerlingen dat die lijn de deellijn van de hoek is, maar het blijkt de zwaartelijn te zijn. Dat de zwaartelijnen in een driehoek ook door één punt gaan zal voor niemand meer een verrassing zijn. Dat het zwaartepunt een zwaartelijn verdeelt in stukken die zich verhouden als 2 : 1 is wel opmerkelijk.

+ Bijzondere cirkels

Een aardige inleiding op deze paragraaf kan gevonden worden door een cirkel op het bord te tekenen. Teken daarin een rode driehoek en teken er een blauwe driehoek omheen. Vraag dan aan de leerlingen waar het middelpunt van de cirkel zal liggen. Ligt dat bij het snijpunt van de middelloodlijnen, de hoogtelijnen, de deellijnen of de zwaartelijnen van de rode driehoek of ligt het ergens anders? En hoe zit het met de blauwe driehoek? Na deze intrigerende vragen zullen leerlingen leergierig de opdrachten van deze paragraaf willen gaan maken.