Una proposición se
considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bién es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La
verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad .
Algunas proposiciones
se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les
llamaremos proposiciones compuestas .
Esto lo veremos más adelante.
Comúnmente se suele
denotar a las proposiciones mediante las letras: « p, q, r, s...etc. »
A continuación, veremos
algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las
proposiciones en Lógica.
p: 7 es un número par;
q: 2 + 2 = 4;
r: 2 es un número
impar.
Como puedes darte
cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera
que la proposición p, su valor de verdad será Falso ,
pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será
verdadero, siempre y cuando estemos hablando de el
sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número
impar.
Ahora
observemos este otro ejemplo:
¿Cómo
éstas?
Observa que para esta
expresión no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es
falso, o bien, verdadero. De manere que no se trata
de una proposición.
Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora veamos este otro:
Pedro
está enfermo o viejo.
Esta expresión está
formada implícitamente por dos proposiciones simples: «Pedro está
enfermo» y la otra proposición, «Pedro es viejo». Se trata de
una proposición compuesta, donde su valor de verdad, está determinado por
completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por
el modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta.
De manera que, la primera proposición: «Pedro está enfermo», le podemos
asignar un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso.Para la segunda proposición: «Pedro es viejo»tambien se le puede asignar su valor de verdad: falso o
verdadero.
La manera en que van a
estar unidas ciertas proposiciones simples, para dar forma a proposiciones
compuestas, será determinado rotundamente por el uso de conectivos. Estos los
veremos en la sección siguiente.
Anteriormente vimos que
la unión de proposiciones simples dan lugar a
proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones
compuestas será la conjunción .
Cuando dos
proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y »
, la proposición compuesta
resultante se le llama conjunción .
Para la conjunción
usaremos el simbolo lógico ^.
De esta manera, se
tiene que la nueva proposicion p ^ q se llama
conjunción de « p y q ».
Ahora, el valor de
verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de
la siguiente manera:
p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q,
son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es
falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso.
Mas adelante
revisaremos esto con mayor profundidad, cuando lleguemos a la sección de las
«Tablas de Verdad».
Por ahora veamos un par
de ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción.
1.- Si p es la
proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un
número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar
y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad
es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un
número primo»,ambos son verdaderos.
2.- Si p es la
proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un
número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en
Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues
el valor de verdad de q: «París está en Francia» , es verdadero, pero el valor de
q: «2 es un número impar» es falso.
Se emplea la palabra «o»
en el sentido inclusivo, como el término y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q
ó ambas».Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición.
Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q .
A esta nueva
proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición
p v q se llama disyunción de p y q.
El valor de verdad de
la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:
Si p es verdadero o q
es verdadero o si ambos, entonces p v q es
verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la
disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición
componente es falsa.
Veamos a continuación
los siguientes ejemplos:
1.- Si p es la
proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un
número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es
un número par o 3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es
verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas.
2.- Si p es la
proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo».
Entonces la disyunción p v q es la proposición:«2
< 3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es
verdadero, pues p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo»
es falso.
Con esto se observa: si al menos una de las
proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de
la disyunción es verdadera.
3.- Si p es: «París
se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el
valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son falsas.
Si p es una proposición
fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación
de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible,
se inserta en p la palabra «No».
Simbólicamente
denotaremos a la negación por ~p, aunque
existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la
negación de una proposición p como: ¬p ,-p , etc....,
nosotros utilizaremos la notación ~p.
El valor de verdad de
la negación de una proposición fundamental depende de la condición siguiente:
Si p es verdadero, entonces
~p es falso;
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es
decir el valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es
siempre opuesto del valor de verdad de la proposcion.
Consideremos los
siguientes ejemplos:
1.- Si p es la
proposición «Alemania se encuentra en Europa»,entonces
la negación de p, ~p, será la proposición: «Es
falso que Alemania se encuentre en Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es
falso, pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es
verdadero.
Tambien se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa».
2.- Si p es la
proposición: «2 * 3 = 7», entonces ~p
es la proposición: «2 * 3 /= 7», donde el valor de verdad de ~p es verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.
En matemáticas se suele
utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales
proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:
p --> q
El condicional p
--> q también se puede expresar de las siguientes maneras:
a.
p implica q
b.
p solamente si q
c.
p es suficiente para q
d.
q es necesario para p
Veamos un ejemplito, el
cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposición condicional se
puede expresar:
Por ejemplo, cuando
decimos:
Mi automóvil funciona
si hay gasolina en el tanque.
Este enunciado es
equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:
a) Si hay gasolina
en el tanque, entonces mi automóvil funciona.
Observa que en este
caso la proposición condicional es del caso: «Si p, entonces q».
b) Mi automóvil sólo
funciona si hay gasolina en el tanque.
En este caso la
proposición condicional es del caso: «p solamente si q».
c) Si hay gasolina
en el tanque, es suficiente para que mi automovil
funcione
En este caso la condicional
es de la forma: «p es suficiente par q».
d) Para que mi
automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.
Para este caso la
proposición condicional es de la forma: «q es necesario para q».
e) Que haya gasolina
en el tanque implica que mi auto funcione.
En este caso la
condicional es de la forma: «p implica q».
El valor de verdad de
la proposición condicional p --> q está dada
de la siguiente condición:
El condicional p
--> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir, una
proposición verdadera no puede implicar una falsa.
La proposición
condicional juega un papel muy importante en matemáticas, en particular, en la
demostración matemática. Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que
los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendran dadas por una serie de
condiciones a la que llamaremos: Hipótesis o antecedentes, lo cual implican un
consecuente. En el condicional p --> q a p se le llama el
antecedente, y a q el consecuente.
Tambien, es muy importante comprender el carácter que tiene el
condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q,
no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q.
Veamos algunos ejemplos
para aclararte esto:
1.- Si mañana llueve,
entonces hará frio.
Se observa, de que, si llega
a ocurrir de que el día de mañana llueva, entonces el
día de mañana será frío. Ahora, para saber el valor de verdad de esta
proposición, depende de los factores climatológicos que se presenten para el
día de mañana. Es decir, puede ser que mañana llueva, pero no haga frío, en
este caso dado la ley del valor de verdad de la condicional, sería falsa. Pues
una proposición verdadera no implica una proposicion
falsa.
2.- Si a y b son
números pares, entonces la suma (a+b) tambien es un número par.
Para este caso, si se
tienen que dos números son pares entonces su suma son otro número par, es
decir, no afirma que para cualesquiera dos números la suma de estos es un
número par.
Otra observación
interesante que hay que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor
de verdad de la proposición condicional p --> q es falso, si p es
verdadero y q es falso. Ahora puede puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la
condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera,
o más aún, es verdadero, dado que p es falsa y también q es falsa.
Veamos otro ejemplo para aclarar esto:
Sea la proposición
condicional: «Si 4 es un número primo, entonces 6 es un número primo».
Es una proposición verdadera a pesar de que «4 es un número primo» es una
proposición falsa. El que la proposición «6 es un número primo» sea
falsa, no tiene importancia. Nada se afirma con respecto al valor de verdad de
q en este caso, solamente el valor de verdad de p --> q, y éste queda
completamente determinado por las tablas de verdad que veremos mas adelante.
Bicondicional
Otro tipo de proposición que se
presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se
suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta
proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p
A este conectivo lógico especial
lo llamamos condicional y se denota por el simbolo
<-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p -->
q) y (q --> p) o aplicando la definición de la conjunción, que
vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p).
El valor de verdad de las
proposiciones Bicondicionales p <--> q
obedece a la condición:
Si p y q tienen el mismo valor de
verdad, entonces p <--> q, es verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es
falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p
<--> q es verdadero.
Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q tambien es verdadero.
Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.
Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso
Veamos los ejemplos siguientes:
1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si,
4 + 4 = 8.
Si se toma p como: «3 + 2 = 7»
y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad de p, es falso, pero
el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional
p <--> q es falsa.
2.- Londres está en Inglaterra
si, y solamente si, París está en Francia.
Sea p «Londres está en
Inglaterra» y q «París está en Francia», entonces tanto el valor de
p, como de q, son verdaderos,es
decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional
p <--> q es verdadera.
3.- 10 es un número impar si, y
solamente si, 6 es un número primo
Si p es: «10 es un número
impar» y q es: «6 es un número primo», entonces se observa que tanto
el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor
de verdad, luego entonces la bicondicional p
<--> q es verdadera.
Hasta ahora, hemos visto las
definiciones de el uso de conectivos en Lógica y
algunos ejemplos muy sencillos con el fin de facilitar la comprension
de dicho estudio
A manera de recapitulación en la
sección siguiente verás una serie de ejercicios que abarcan todo lo que hemos
visto hasta ahora.
Te aconsejo que los veas y trates de resolverlos tú mismo, si esto no es así,
entonces podrás ver la respuesta a cada ejercicio.
Ahora resumamos lo que se ha visto hasta ahora:
A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado
un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del
conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los
elementos del último conjunto se le llaman proposiciones compuestas.
Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r.
El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se
asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores.
Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla
de verdad
Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene
conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A
una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden,
debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación.
Tabla de verdad para ~p.
|
Esta tabla nos hace
recordar la definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el
valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces
el valor de verdad de ~p es verdadero.
Tabla de verdad para p v q.
|
En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q
son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es
falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada
proposición componente es falsa.
Tabla de verdad para p ^ q.
|
Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p
^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera
solamente si cada componente es verdadero.
Tabla de verdad para p --> q.
|
De la tabla anterior se abserva que el condicional p
--> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir una
proposición verdadera no puede implicar una falsa.
Tabla de verdad para p <--> q.
|
De la anterior tabla se puede observar que:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es verdadero;
si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.
Las tablas de verdad
anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de
cualquier proposición por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas
a partir de ellas se les llama tablas de verdad deducidas
Ilustremos esto con el
siguiente ejemplo:
Calculemos la tabla de verdad de la proposición ~p v q. Como
se indica en la tabla que veremos a continuación, para construir dicha tabla,
debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p
que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna dos en la
cuarta columna, finalmente aplicamos la definición de la disyunción para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente tabla:
Tabla de verdad para ~p
v q.
|
Nota:
De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los
de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores
de verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa.
Esto nos hace recordar los valores de la proposición condicional p <-->
q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos proposiciones.
Antes de continuar
construyendo tablas de verdad mas complejas, es
necesario dar una regla para la construcción de dichas tablas:
Regla:
Si tenemos dos
proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto,
necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendrá los
valores de verdad: V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y
F. Las siguientes columnas tendrán los valores de verdad según la proposición
dada.
Si se tienen tres
proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodarán
los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la
segunda columna se reparten los valores: V,V,
F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran:
V,F,V,F,V,F,V,F.
Para cuatro
proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se
reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezará con
cuatro V, despues cuatro F, y así sucesivamente hasta
ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila
número 16.
En general:
Analizando que para dos
proposiciones se necesitan cuatro filas..o visto de
otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se
necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones
necesitaremos 24 = 16 filas...en general para n proposiciones
necesitaremos 2n filas.
Ilustremos todo esto
con un ejemplo, construyamos la tabla de verdad para la proposición compuesta: [(p
v q) ^ r ] --> ~q ^ p.
Este el caso para tres proposiciones:p,
q y r, en donde según vimos anteriormente necesitamos ocho filas. En la
primera columna irán repartidos los valores: V,V,V,V
y F,F,F,F, para la segunda columna: V,V, F,F, V,V,
F,F, y para la tercera columna: V,F,V,F,V,F,V,F.
Se observa que la proposición compuesta [(p v q) ^ r]
--> ~q ^ p a fín de cuentas es una condicional p --> q, donde digamoslo así p = [(p v q ^ r)] y q = ~q ^ p. Por tanto lo que nos interesa al final son los
valores de verdad de la condicional -->.
Debemos encontrar los
valores para la proposición [(pvq) ^ r ], donde observamos
que esta proposición es una conjunción p ^ q, donde p = p v q y q =
r, (conste que hago estas igualdades para que se te haga mas claro). Para esto
encontraremos el valor de verdad de la disyunción p v q ,donde los valores de ésta se deducen de las columnas primera y
segunda, los valores de esta disyunción las colocaremos en la cuarta columna.
Ahora encontraremos los valores de verdad de la conjunción [(p v q) ^ r] de la cual los valores los podemos deducir de las columnas
tercera y cuarta, dichos valores los colocamos en la quinta columna.
Ahora nos hace falta
encontrar los valores de verdad de la proposición ~q
^ p, la cual evidentemente se trata de una conjunción, para esto se
necesita encontrar los valores de ~q los
cuales se deducen de la columna dos aplicando la ley de la negación: si q es V
entonces ~q es F, si q es F entonces ~q es V..etc., a estos valores los
colocamos en la columna número seis, y ahora hayamos los valores de la
conjunción ~q ^ p, estos se deducen de las columnas
primera y sexta, valores que colocamos en la séptima columna. Finalmente
encontramos los valores de la implicación [(p v q) ^ r]
--> ~q ^ p de
donde ahora se pueden deducir con claridad de las columnas quinta y séptima, a
estos valores los colocamos en la octava y última columna.
La tabla de dicha
proposición es la siguiente:
Tabla de verdad para [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p.
|
Ahora veamos un caso
especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener sólo el valor
de verdad V en la última columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las demas
proposiciones. Tales proposiciones se le llaman: Tautologías.
Algunas de estas tautologías son muy comunes y útiles y por eso se le llaman leyes.
Ahora costruyamos la tabla de verdad para la proposición: p v ~p.
Tabla de verdad para p v ~p.
|
Se observa que el valor
de verdad de esta proposicion p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se
trata de una tautología. A dicha tautología se le llama ley del tercio excluído.
Construyamos la tabla
de verdad para la proposición:
[(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p -->
r).
Tabla de verdad para: [(p --> q) ^ (q
--> r)] --> (p --> r)
|
A esta proposición se
le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principío fundamental del razonamiento lógico.
Antes de pasar a la
siguiente observacion, veamos antes algo sobre notacion:
Podemos denotar a una proposición compuesta, como las que hemos visto desde
casi el principio, como P(p,q,r,....),
donde P es la proposición compuesta en sí, y p,q,r,...sus
componentes.
Por ejemplo: La proposición anterior que vimos, [(p -->q) ^ (q -->r)]
--> (p -->r), podemos llamar a esta proposición compuesta como P, de
componentes p,q y r. Es
decir nuestra proposición compuesta es de la forma:
P(p,q,r).
Observacion:
Si P(q,r,s...) es una
tautología, entonces ~P(q,r,s...)
es una contradicción y viceversa
La contradicción es una proposición compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por tener sólo el valor de
verdad F en la última columna de sus tablas de verdad, independientemente de el
valor de las demás proposiciones: q,r,s...
Veamos la proposición p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una
contradicción.
p ^ ~p
|
La tabla nos muestra que en la última columna aparecen los valores de verdad F,
independientemente de los valores de p y ~p.
