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Proposiciones

Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bién es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad .

Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas . Esto lo veremos más adelante.

Comúnmente se suele denotar a las proposiciones mediante las letras: « p, q, r, s...etc. »

A continuación, veremos algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las proposiciones en Lógica.

p: 7 es un número par;

q: 2 + 2 = 4;

r: 2 es un número impar.

Como puedes darte cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposición p, su valor de verdad será Falso , pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será verdadero, siempre y cuando estemos hablando de el sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número impar.

   Ahora observemos este otro ejemplo:

                   ¿Cómo éstas?

Observa que para esta expresión no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es falso, o bien, verdadero. De manere que no se trata de una proposición.
Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora veamos este otro:

                   Pedro está enfermo o viejo.

Esta expresión está formada implícitamente por dos proposiciones simples: «Pedro está enfermo» y la otra proposición, «Pedro es viejo». Se trata de una proposición compuesta, donde su valor de verdad, está determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta.
De manera que, la primera proposición: «Pedro está enfermo», le podemos asignar un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso.Para la segunda proposición: «Pedro es viejo»tambien se le puede asignar su valor de verdad: falso o verdadero.

La manera en que van a estar unidas ciertas proposiciones simples, para dar forma a proposiciones compuestas, será determinado rotundamente por el uso de conectivos. Estos los veremos en la sección siguiente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conjunción

 

 

Anteriormente vimos que la unión de proposiciones simples dan lugar a proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones compuestas será la conjunción .

Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción .

Para la conjunción usaremos el simbolo lógico ^.

De esta manera, se tiene que la nueva proposicion p ^ q se llama conjunción de « p y q ».

Ahora, el valor de verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente manera:

p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso.

Mas adelante revisaremos esto con mayor profundidad, cuando lleguemos a la sección de las «Tablas de Verdad».

Por ahora veamos un par de ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción.

1.- Si p es la proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un número primo»,ambos son verdaderos.

2.- Si p es la proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: «París está en Francia» , es verdadero, pero el valor de q: «2 es un número impar» es falso.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Disyunción

 

 

Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas».Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición.

Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q .

A esta nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de p y q.

El valor de verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:

Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.

 

Veamos a continuación los siguientes ejemplos:

 

 

1.- Si p es la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas.

2.- Si p es la proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo». Entonces la disyunción p v q es la proposición:«2 < 3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo» es falso.

Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.

3.- Si p es: «París se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son falsas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Negación

 

 

Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra «No».

Simbólicamente denotaremos a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p ,-p , etc...., nosotros utilizaremos la notación ~p.

El valor de verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición siguiente:

Si p es verdadero, entonces ~p es falso;
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es siempre opuesto del valor de verdad de la proposcion.

Consideremos los siguientes ejemplos:

 

 

1.- Si p es la proposición «Alemania se encuentra en Europa»,entonces la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso que Alemania se encuentre en Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es verdadero.
Tambien se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa».

2.- Si p es la proposición: «2 * 3 = 7», entonces ~p es la proposición: «2 * 3 /= 7», donde el valor de verdad de ~p es verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Condicional

 

 

En matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:

p --> q

 

El condicional p --> q también se puede expresar de las siguientes maneras:

 

a. p implica q

b. p solamente si q

c.  p es suficiente para q

d. q es necesario para p

Veamos un ejemplito, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposición condicional se puede expresar:

Por ejemplo, cuando decimos:

Mi automóvil funciona si hay gasolina en el tanque.

 

Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:

 

a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automóvil funciona.

Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: «Si p, entonces q».

b) Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque.

En este caso la proposición condicional es del caso: «p solamente si q».

c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione

En este caso la condicional es de la forma: «p es suficiente par q».

d) Para que mi automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.

Para este caso la proposición condicional es de la forma: «q es necesario para q».

e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

En este caso la condicional es de la forma: «p implica q».

El valor de verdad de la proposición condicional p --> q está dada de la siguiente condición:

El condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir, una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

La proposición condicional juega un papel muy importante en matemáticas, en particular, en la demostración matemática. Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendran dadas por una serie de condiciones a la que llamaremos: Hipótesis o antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el condicional p --> q a p se le llama el antecedente, y a q el consecuente.

Tambien, es muy importante comprender el carácter que tiene el condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q, no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q.

Veamos algunos ejemplos para aclararte esto:

1.- Si mañana llueve, entonces hará frio.

Se observa, de que, si llega a ocurrir de que el día de mañana llueva, entonces el día de mañana será frío. Ahora, para saber el valor de verdad de esta proposición, depende de los factores climatológicos que se presenten para el día de mañana. Es decir, puede ser que mañana llueva, pero no haga frío, en este caso dado la ley del valor de verdad de la condicional, sería falsa. Pues una proposición verdadera no implica una proposicion falsa.

2.- Si a y b son números pares, entonces la suma (a+b) tambien es un número par.

Para este caso, si se tienen que dos números son pares entonces su suma son otro número par, es decir, no afirma que para cualesquiera dos números la suma de estos es un número par.

Otra observación interesante que hay que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor de verdad de la proposición condicional p --> q es falso, si p es verdadero y q es falso. Ahora puede puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera, o más aún, es verdadero, dado que p es falsa y también q es falsa.
Veamos otro ejemplo para aclarar esto:

Sea la proposición condicional: «Si 4 es un número primo, entonces 6 es un número primo». Es una proposición verdadera a pesar de que «4 es un número primo» es una proposición falsa. El que la proposición «6 es un número primo» sea falsa, no tiene importancia. Nada se afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso, solamente el valor de verdad de p --> q, y éste queda completamente determinado por las tablas de verdad que veremos mas adelante.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bicondicional

 

 

Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi. Intuitivamente esta proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p

A este conectivo lógico especial lo llamamos condicional y se denota por el simbolo <-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición de la conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p).

El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p <--> q obedece a la condición:

Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q es verdadero.
Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q tambien es verdadero.
Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.
Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso

Veamos los ejemplos siguientes:

1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.

Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional p <--> q es falsa.

2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en Francia.

Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en Francia», entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos,es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número primo

Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número primo», entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

 

Hasta ahora, hemos visto las definiciones de el uso de conectivos en Lógica y algunos ejemplos muy sencillos con el fin de facilitar la comprension de dicho estudio

A manera de recapitulación en la sección siguiente verás una serie de ejercicios que abarcan todo lo que hemos visto hasta ahora.
Te aconsejo que los veas y trates de resolverlos tú mismo, si esto no es así, entonces podrás ver la respuesta a cada ejercicio.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tablas de Verdad

 

 


Ahora resumamos lo que se ha visto hasta ahora:


A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^,
v, ~. Los elementos del último conjunto se le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r.
El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores.
Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad
Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~,
v, ^,-->, <--> se verán a continuación.

 

 

Tabla de verdad para ~p.

 

p

~p

V

F

F

V

Esta tabla nos hace recordar la definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero.

 

 

 

Tabla de verdad para p v q.

 

p

q

p v q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

 


En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p
v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.

 

 

Tabla de verdad para p ^ q.

 

p

q

p ^ q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

 


Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.

 

 

Tabla de verdad para p --> q.

 

p

q

p --> q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

 


De la tabla anterior se abserva que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

 

 

Tabla de verdad para p <--> q.

 

p

q

p <--> q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

 


De la anterior tabla se puede observar que:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.

 

 

Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de cualquier proposición por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les llama tablas de verdad deducidas

Ilustremos esto con el siguiente ejemplo:
Calculemos la tabla de verdad de la proposición ~p
v q. Como se indica en la tabla que veremos a continuación, para construir dicha tabla, debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la definición de la disyunción para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente tabla:

Tabla de verdad para ~p v q.

 

p

q

~p

q

~p v q

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

V

 

 

Nota:
De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores de verdad de ~p
v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. Esto nos hace recordar los valores de la proposición condicional p <--> q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos proposiciones.

 

 

Antes de continuar construyendo tablas de verdad mas complejas, es necesario dar una regla para la construcción de dichas tablas:

Regla:

Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendrá los valores de verdad: V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendrán los valores de verdad según la proposición dada.

Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodarán los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F.

Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezará con cuatro V, despues cuatro F, y así sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila número 16.

En general:

Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas..o visto de otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas...en general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.

 

Ilustremos todo esto con un ejemplo, construyamos la tabla de verdad para la proposición compuesta: [(p v q) ^ r ] --> ~q ^ p.
Este el caso para tres proposiciones:p, q y r, en donde según vimos anteriormente necesitamos ocho filas. En la primera columna irán repartidos los valores: V,V,V,V y F,F,F,F, para la segunda columna: V,V, F,F, V,V, F,F, y para la tercera columna: V,F,V,F,V,F,V,F.
Se observa que la proposición compuesta [(p
v q) ^ r] --> ~q ^ p a fín de cuentas es una condicional p --> q, donde digamoslo así p = [(p v q ^ r)] y q = ~q ^ p. Por tanto lo que nos interesa al final son los valores de verdad de la condicional -->.

Debemos encontrar los valores para la proposición [(pvq) ^ r ], donde observamos que esta proposición es una conjunción p ^ q, donde p = p v q y q = r, (conste que hago estas igualdades para que se te haga mas claro). Para esto encontraremos el valor de verdad de la disyunción p v q ,donde los valores de ésta se deducen de las columnas primera y segunda, los valores de esta disyunción las colocaremos en la cuarta columna. Ahora encontraremos los valores de verdad de la conjunción [(p v q) ^ r] de la cual los valores los podemos deducir de las columnas tercera y cuarta, dichos valores los colocamos en la quinta columna.

Ahora nos hace falta encontrar los valores de verdad de la proposición ~q ^ p, la cual evidentemente se trata de una conjunción, para esto se necesita encontrar los valores de ~q los cuales se deducen de la columna dos aplicando la ley de la negación: si q es V entonces ~q es F, si q es F entonces ~q es V..etc., a estos valores los colocamos en la columna número seis, y ahora hayamos los valores de la conjunción ~q ^ p, estos se deducen de las columnas primera y sexta, valores que colocamos en la séptima columna. Finalmente encontramos los valores de la implicación [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p de donde ahora se pueden deducir con claridad de las columnas quinta y séptima, a estos valores los colocamos en la octava y última columna.

La tabla de dicha proposición es la siguiente:

 

 

Tabla de verdad para [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p.

 

p

q

r

p v q

p v q ^ r

~q

~q ^ p

[(p v q ^ r] --> ~q ^ r

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

v

F

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

F

V

 

 

 

 

 

 

Tautología

 

Ahora veamos un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener sólo el valor de verdad V en la última columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las demas proposiciones. Tales proposiciones se le llaman: Tautologías.
Algunas de estas tautologías son muy comunes y útiles y por eso se le llaman leyes.

 

Ahora costruyamos la tabla de verdad para la proposición: p v ~p.

 

 

Tabla de verdad para p v ~p.

 

p

~p

p v ~p

V

F

V

F

V

V

 

Se observa que el valor de verdad de esta proposicion p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se trata de una tautología. A dicha tautología se le llama ley del tercio excluído.

 

Construyamos la tabla de verdad para la proposición:

[(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r).

 

 

Tabla de verdad para: [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r)

 

p

q

r

[(p

-->

q)

^

(q

-->

r)]

-->

(p

-->

r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

 

 

A esta proposición se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principío fundamental del razonamiento lógico.

 

Antes de pasar a la siguiente observacion, veamos antes algo sobre notacion:
Podemos denotar a una proposición compuesta, como las que hemos visto desde casi el principio, como P(p,q,r,....), donde P es la proposición compuesta en sí, y p,q,r,...sus componentes.
Por ejemplo: La proposición anterior que vimos, [(p -->q) ^ (q -->r)] --> (p -->r), podemos llamar a esta proposición compuesta como P, de componentes p,q y r. Es decir nuestra proposición compuesta es de la forma:
P(p,q,r).

 

 

Observacion:


Si P(q,r,s...) es una tautología, entonces ~P(q,r,s...) es una contradicción y viceversa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contradicción

 

 


La contradicción es una proposición compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por tener sólo el valor de verdad F en la última columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las demás proposiciones: q,r,s...


Veamos la proposición p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una contradicción.

 

 

p ^ ~p

 

p

~p

p ^ ~p

V

F

F

F

V

F

 


La tabla nos muestra que en la última columna aparecen los valores de verdad F, independientemente de los valores de p y ~p.