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CUARTA SESIÓN 

C5 EL ORIGEN DE LAS REGLAS PARA DESPEJAR UNA INCÓGNITA PARTIENDO DEL AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES (AFE)

Actividad del docente: Introduce el tema refiriéndose al AFE como base para despejar una ecuación. Recalca la importancia de la reflexión durante el proceso de deducción de reglas, las que luego se aplican en forma mecánica.

Tiempo estimado: 10 minutos

Resolver una ecuación, implica hallar el valor de la incógnita o número desconocido, de tal manera que la igualdad se satisfaga. La incógnita es expresada normalmente por una de las últimas letras del alfabeto –aunque es muy común para casos simples usar solo la x-. La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado; aunque el procedimiento empleado para ello no es un camino totalmente trazado, su origen se basa en el Axioma fundamental de las ecuaciones, el cual establece que: siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada.

El despeje de una ecuación como recurso en la solución de problemas.

Por lo general un estudiante del tercer grado de secundaria que aprende a resolver ecuaciones de primer grado se limita  memorizar y aplicar un conjunto de reglas en un ejercicio, el cual contiene ecuaciones con un grado de dificultad que paulatinamente se va incrementando, pero pocas veces el que aprende reflexiona de por qué está aplicando determinadas reglas y muchas veces no asimila que los procedimientos para llegar a la solución no representan un camino lineal.

Una de la finalidades ultimas en el presente diseño de actividades, es que el aprendiz llegue a plantear una ecuación partiendo de una serie de datos que él mismo extraiga de una situación problematizada y que clarifique el porqué del procedimiento que ejecuta en la resolución de una ecuación o conjunto de ecuaciones Para lo cual es importante que el alumno aprenda procedimientos, pero en base a una secuencia lógica en la que él vaya marcando el paso siguiente, producto de su conocimiento previo, de su auto reflexión, pero sin dejar en ningún momento de considerar la importancia de la interacción con compañeros de equipo o de grupo al momento de resolver un problema.

Actividad del docente: Presenta en el pizarrón diversos ejemplos de resolución de ecuaciones, realizando para ello varias operaciones específicas que se justifican aplicando directamente el AFE

Actividad del alumno: A partir de los procedimientos empleados en los citados ejemplos los alumnos, en forma colaborativa (equipos de cuatro integrantes) deducirán reglas concretas para despejar la incógnita y presentarán ecuaciones de primer grado donde estas sean aplicadas. Se esperan respuestas del tipo: “Cuando un término está sumando en..., se puede transponer al otro miembro...”., acompañada cada regla con un número mínimo de 4 ejemplos.

Tiempo estimado: 40 minutos.

 

Los ejemplos de resolución de ecuaciones mediante operaciones específicas según el AFE, son:
 
1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Ecuación 1:   * x + 8 = 7,  x + 8+(-8)= 7+(-8), 
 reduciendo términos, x = -1.
 
Ecuación 2:   *x-10= -3,   x-10+10= -3+10, reduciendo
 términos, x = 7
2) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
 
Ecuación 3:   *x/3 = 13,         x/3(3) = 13(3),
 reduciendo términos, x = 39
 
Ecuación 4:   *x/-5= 1/10,     x/-5 (-5)= 1/10 (-5),
 reduciendo,   x = -5/10,   x = -1/2
3) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Ecuación 5:   *  6x= - 12, 
6x / 6 = -12 /6, x = -2
 
Ecuación 6:   * -12x = 2,  -12x / -12 = 2 / -12,
 x = - 2 / -12,    x = - 1 / 6

Los cuestionamientos a los que debe contestar el alumno para cumplir con la actividad son:

¿Qué regla directa podríamos derivar cuando un término está sumando en el primer miembro de la ecuación?

 

Ejemplos (al menos 4)

 

 

 

¿Qué regla podríamos derivar cuando una cantidad está dividiendo al primer miembro de la ecuación?

 

Ejemplos (al menos 4)

 

 

 

¿Qué regla podríamos derivar cuando una cantidad está multiplicando al primer miembro de la ecuación?

 

Ejemplos (al menos 4)

 

 

 

 

QUINTA SESIÓN

Actividad del docente: Con los siguientes ejemplos (A y B), que serán descritos en el pizarrón, se pretende que el alumno visualice que las ecuaciones no serán resueltas siempre con una sola operación específica, pues la incógnita, por lo general, además de tener cantidades sumando y/o restando, posee cantidades multiplicando y/o dividiendo.

Actividad del alumno: Participan en modalidad de parejas, reflexionando, experimentando y contestando a las preguntas que se plantean al final de los ejemplos A y B

Tiempo estimado: 30 minutos

Ejemplo A:      5x – 6 = 28 + 3x, 

El procedimiento de aplicación del AFE circundará alrededor del término del primer miembro que contenga la incógnita, es decir, de 5x.

5x – 6 = 28 + 3x

Primer paso: 5x – 6 + 6 - 3x = 28 + 6 + 3x - 3x,  Reduciendo términos semejantes se tiene: 2x = 34 ;

luego a partir de 2x = 34

Segundo Paso: 2x / 2 = 34 / 2,   Reduciendo se obtiene: x = 17.

¿Qué hubiera pasado si desde el primer paso también se ejecuta la operación contraria de la multiplicación, -la división- para anular el 5 que multiplica a x?

¿Qué tan válido será?, ¿convendrá hacer sumas y divisiones en el mismo primer paso? En caso afirmativo, ¿por qué si?; en caso negativo, ¿qué conviene hacer primero?

 Ejemplo B:      x/2 – 6 = 28

El procedimiento circundará alrededor del término del primer miembro que contiene la incógnita, es decir, de  x / 2. Luego se aplicarán operaciones iguales en ambos miembros de la igualdad basándonos en el AFE.

x/2  –  6  =  28

Primer paso:  x/2  –  6  + 6 =  28 + 6

Reduciendo términos semejantes se tiene: x/2 = 34 ;

Segundo paso:  x/2  (2) = 34  (2).  Reduciendo se obtiene: x = 68.

 

¿Qué hubiera pasado si desde el primer paso también se ejecuta la operación contraria de la división, -la multiplicación- para anular el 2 que divide a x? ¿Qué tan válido será?, ¿convendrá hacer sumas y multiplicaciones en el mismo primer paso? En caso afirmativo, ¿por qué si?; en caso negativo, ¿qué conviene hacer primero?

 Actividad del alumno: Asiste a la sala de computación a presenciar y comentar la retroalimentación sobre las reglas para despejar incógnitas.

Tiempo estimado: 20 minutos

RETROALIMENTACIÓN 2