VERONICA BOBADILLA MARTINEZ

CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de

módulo
dirección radial
sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa

El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale

Celec_7.gif (1934 bytes)

Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.

Principio de Superposición

Se ha comprobado -también experimentalmente- que las fuerzas eléctricas se comportan en forma aditiva, es decir; la fuerza eléctrica sobre una carga q, debida a un conjunto de cargas $q_1, \ldots , q_n$ es igual a la suma de las fuerzas que $\vec F_i$ , que cada carga q_i, ejerce separadamente sobre la carga q, es decir:

$\begin{displaymath} \vec F_q = \vec F_1 + \ldots + \vec F_n = \sum_{i=1}^n \vec F_i , \end{displaymath}$

en que las fuerzas $\vec F_i$ estan dadas por :

$\begin{displaymath} \vec F_i (\vec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_i (\vec r -\vec r_i) }{ \vert\vec r -\vec r_i\vert^3 }.\end{displaymath}$

En la ecuación anterior las cargas q_i ocupan las posiciones dadas por los vectores $\vec r_i$ ( $i=1,\ldots , n$ ) y la carga q está en el punto $\vec r$ . El principio de Superposición es conocido también como la 'regla del paralelogramo de fuerzas'.

LEY DE GAUSS

Una de las leyes mas importantes, que forman parte de las leyes de Maxwell, es la ley de Gauss. Esta ley permite encontrar de manera fácil el campo eléctrico, de manera sumamente fácil para cuerpos cargados geométricamente de manera regular.

La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral, en esta sección se hablará de la forma integral.

Para la aplicación de la ley de Gauss se requiere de la consideración de una superficie imaginaria llamada “superficie Gaussiana”, la cual generalmente tiene la forma de la configuración del cuerpo cargado. Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente.

Ley de Gauss.

La carga total contenida en un cuerpo cargado es igual a la suma de flujo que atraviesan la superficie Gaussiana su expresión matemática queda determinada por:

Por ejemplo, si queremos encontrar el campo eléctrico de una esfera cargada, de carga Q, tendremos que considerar una cuerpo imaginario que tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este caso de una esfera de radio r, arbitrario.

Si queremos encontrar el campo eléctrico de una esfera cargada, de carga Q, tendremos que considerar una cuerpo imaginario que tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este caso de una esfera de radio r, arbitrario.

Analizando la expresión:

vemos que:

donde Q_Tes la carga total contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de la esfera cargada. Por lo que tenemos la expresión:

Vemos que es conveniente manejar el elemento diferencial de superficie en coordenadas esféricas. Tomemos el elemento de superficie:

con lo que :

como el campo es radial, por lo que E puede salir de la integral:

recordemos que:

Entonces tendremos

finalmente despejando el campo tendremos:

Que corresponde a la forma de una carga puntual, precisamente por que tiene una forma esférica ambas

Por su puesto, en ambas situaciones intensidad del campo eléctrico el vector del campo eléctrico será descrito como:

realmente el proceso es muy simple lo único que se tiene que hacer es encontrar una superficie apropiada, inclusive en ocasiones no es necesario realizar las integrales, si conocemos que la superficie de una esfera es igual a podemos identificar que:

y directamente podemos despejar y obtener

POTENCIAL ELECTRICO

Se define el potencial en un punto de un campo eléctrico como el trabajo realizado sobre la unidad de carga positiva para traerla desde el infinito al punto considerado.

El trabajo que realiza el campo eléctrico, para desplazar a una carga "q'", de un punto "a" hasta un punto "b", es el siguiente,

(98)

supongamos que el campo eléctrico sea producido por una carga "q" .Supongamos también, que esta carga q no se mueva. En este caso, para distinguir este campo de aquel producido por cargas en movimiento, hablaremos de campo electrostático, tendremos entonces,

(99)

esto es,

(100)

lo que da como resultado,

(101)

en el caso que "a" y "b" sean el mismo punto, el trabajo realizado por el campo eléctrico, es nulo. En otras palabras, el campo electrostático es conservativo.

Si el campo electrostático en la (98) fuese producido por varias cargas, simplemente tendríamos varias expresiones como la (99) y la conclusión seria la misma. El mismo razonamiento puede extenderse para las distribuciones continuas de carga.

Tenemos entonces, que para el campo electrostático, será siempre,

(102)

donde C₀, es un contorno cerrado cualquiera.

Por el Teorema de Stokes, será también,

(103)

donde S₀ es una superficie cualquiera encerrada por C₀, esto implica que,

(104)

esto es, que el campo electrostático es irrotacional.

Por otra parte, existe la siguiente identidad vectorial,

(105)

Esto nos permite definir una función escalar V, que llamaremos potencial electrostático, de manera tal que,

(106)

el signo negativo es por definición. Es conveniente recordar, que la definición (106) será valida hasta tanto sea cierta la expresión (104). Esto será diferente, cuando consideremos cargas en movimiento.

De esta manera, podemos describir un fenómeno electrostático mediante dos campos, uno de ellos escalar (V) y el otro (E), vectorial.

Es de notar que la relación entre los dos campos es tal que, una vez determinado el campo eléctrico E, el potencial electrostático queda determinado a menos de una constante. Esto se debe al hecho que para determinar V a partir de E, debemos utilizar integrales.

Multiplicando escalarmente ambos miembros de la (106) por dl, se tiene,

(107)

recordando que,

(108)

se tendrá,

(109)

integrando ahora entre dos puntos "a" y "b",

(110)

Veamos cual es la diferencia de potencial generada por una carga puntual. Para ello, introduzcamos la (62) en la (110), obtendremos,

(111)

e integrando entre "a" y "b",

(112)

Se había mencionado como la función potencial, estaba definida a menos de una constante. En muchos casos conviene asumir que el potencial es igual a cero en el infinito.

Si por ejemplo para el caso del campo generado por una carga puntual, asumimos que el punto "b" sea el infinito y el potencial allí Vb, sea igual a cero, de la (112) tendríamos,

(113)

Debe tenerse presente, que la condición de imponer el potencial en el infinito igual a cero, no siempre es posible, en especial, cuando tenemos distribuciones infinitas de cargas.

Es fácil comprobar, como también para el potencial electrostático, es valida la superposición. De manera que para un grupo de cargas puntuales, el potencial electrostático, será,

(114)

y extendiendo estas conclusiones a una distribución continua de cargas, tendremos que el diferencial de potencial electrostático producido por un diferencial de carga, será,

(115)

que en el caso de tratarse de una densidad volúmica de carga ρ, tendremos,

(116)

de manera que el potencial producido por una densidad volúmica de carga, que se encuentre en el volumen τ₀, será,

(117)

Podemos también determinar el diferencial de potencial electrostático producido por un diferencial de carga superficial, tendremos,

(118)

y el potencial total producido por una densidad superficial de carga r, distribuida en una superficie S₀ será,

(119)

análogamente, tendremos que el diferencial de potencial electrostático producido por un diferencial de carga lineal es,

(120)

y finalmente, el potencial total producido por una densidad lineal de carga λ, que se encuentre en una línea L₀ será,

(121)

CAPACITANCIA

Cualquier campo eléctrico entre conductores cargados es un medio propicio para almacenar energía eléctrica. Por ejemplo las placas metálicas paralelas que se indican en la figura constituyen lo que se denomina un capacitor.

La energía requerida para cargar el dispositivo de la figura puede proporcionarse mediante una batería o acumulador. Al desconectarse la batería, las placas quedarán cargadas pudiéndose utilizarse esta energía posteriormente.

Existe un límite para transferir carga. Cargar un conductor equivale a inflar con aire un globo; mientras más inflado esté el globo, más difícil se hace seguir introduciendo aire. En el caso de un conductor sucede lo mismo ya que cuanta más carga se le dé, más se incrementa la diferencia de potencial. Por tanto puede decirse que el incremento en la carga (Q) es directamente proporcional a la diferencia de potencial (V), siendo la constante de proporcionalidad la Capacitancia (C).

La diferencia de potencial es directamente proporcional a la carga almacenada, por lo que se da que la proporción Q/V es constante para un condensador dado.

La capacidad se mide en Culombios/Voltio o también en faradios (F).
La capacidad es siempre una magnitud positiva.

En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa gracias a la siguiente ecuación diferencial, que se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior.

${i} = {C} \frac {dV}{dt}$

Donde se define la corriente "i" como la derivada de la carga eléctrica.

RESIATENCIA

Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica para recorrerla. Su valor viene dado en ohmios, se designa con la letra griega omega mayúscula (Ω), y se mide con el Óhmetro. Tambien se define como la propiedad de un objeto o sustancia.

Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia.

Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nula.

Una resistencia ideal es un elemento pasivo que disipa energía en forma de calor según la Ley de Joule. También establece una relación de proporcionalidad entre la intensidad de corriente que la atraviesa y la tensión medible entre sus extremos, relación conocida como Ley de Ohm:

$u (t) = R \cdot i(t) \;$

donde i(t) la Corriente eléctrica que atraviesa la resistencia de valor R y u(t) es la diferencia de potencial que se origina. En general, una resistencia real podrá tener diferente comportamiento en función del tipo de corriente que circule por ella.

Comportamiento en corriente continua

Una resistencia real en corriente continua (CC) se comporta prácticamente de la misma forma que si fuera ideal, esto es, transformando la energía eléctrica en calor. Su ecuación pasa a ser:

$R = {V \over I} \;$

que es la conocida ley de Ohm para CC.

Comportamiento en corriente alterna

Como se ha comentado, una resistencia real muestra un comportamiento diferente del que se observaría en una resistencia ideal si la intensidad que la atraviesa no es continua. En el caso de que la señal aplicada sea senoidal, corriente alterna (CA), a bajas frecuencias se observa que una resistencia real se comportará de forma muy similar a cómo lo haría en CC, siendo despreciables las diferencias. En altas frecuencias el comportamiento es diferente, aumentando en la medida en la que aumenta la frecuencia aplicada, lo que se explica fundamentalmente por los efectos inductivos que producen los materiales que conforman la resistencia real. Por ejemplo, en una resistencia de carbón los efectos inductivos sólo provienen de los propios terminales de conexión del dispositivo mientras que en una resistencia de tipo bobinado estos efectos se incrementan por el devanado de hilo resistivo alrededor del soporte cerámico, además de aparecer una cierta componente capacitiva si la frecuencia es especialmente elevada. En estos casos, para analizar los circuitos, la resistencia real se sustituye por una asociación serie formada por una resistencia ideal y por una bobina también ideal, aunque a veces también se les puede añadir un pequeño condensador ideal en paralelo con dicha asociación serie. En los conductores, además, aparecen otros efectos entre los que cabe destacar el efecto pelicular

Consideremos una resistencia R, a la que se aplica una tensión alterna de valor:

$u(t)=V_0 \cdot \sin(\omega t + \beta),$

De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna de valor:

$i(t)= {u(t) \over R} = I_0 \cdot \sin(\omega t + \beta),$

donde $I_0 = {V_0 \over R}$ . Se obtiene así, para la corriente, una función senoidal que está en fase con la tensión aplicada (figura 3).

Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en forma polar:

$\vec{I} = I \ \underline{\mid \beta}$

Y operando matemáticamente:

$\vec{I} = {V \over R} \ \underline{\mid \beta} = {{V \ \underline{\mid \beta}} \over {R \ \underline{\mid 0^\circ}}}$

De donde se deduce que en los circuitos de CA la resistencia puede considerarse como una magnitud compleja sin parte imaginaria o, lo que es lo mismo con argumento nulo, cuya representación binómica y polar serán:

$\vec{R} = R + 0j = R \ \underline{\mid 0^\circ}$

ASOCIACION DE RESISTENCIAS

Las formas más comunes de conectar resistencias entre sí son las asociaciones serie, paralelo y mixta. A estas formas hay que añadir las asociaciones en estrella y en triángulo y la asociación puente. Seguidamente se comentan las características de cada una de ellas comenzando con el concepto de resistencia equivalente.

Resistencia equivalente

Asociones generales de resistencias: a) Serie y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente

Se denomina resistencia equivalente, R_AB, de una asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que conectada la misma diferencia de potencial, U_AB, demanda la misma intensidad, I (ver figura 4). Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación y su resistencia equivalente disipan la misma potencia.

Asociación serie

Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas, figuras 4a) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, U_AB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:

$U_{AB} = U_1 + U_2 +...+ U_n \,$

Aplicando la ley de ohm:

$U_{AB} = IR_1 + IR_2 +...+ IR_n = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

En la resistencia equivalente:

$U_{AB} = IR_{AB} \,$

Finalmente, igualando ambas ecuaciones:

$IR_{AB} = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

Y eliminando la intensidad:

$R_{AB} = R_1 + R_2 +...+ R_n = \sum_{k=1}^n R_k$

Por lo tanto la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la suma de dichas resistencias.

Asociación paralelo

Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, U_AB, todas la resistencias tienen la misma caída de tensión, U_AB.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que ambas, figuras 4b) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, U_AB, lo que originará una misma demanda de intensidad, I. Esta intensidad se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff:

${I} = {I_1} + {I_2} + ... + {I_n} \,$

Aplicando la ley de ohm:

${I} = {U_{AB} \over R_1} + {U_{AB} \over R_2} + ... + {U_{AB} \over R_n} = U_{AB}({1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}) \,$

En la resistencia equivalente se cumple:

$I=U_{AB}/R_{AB} \,$

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión U_AB:

${1 \over R_{AB}} = {1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}$

De donde:

$R_{AB} = {1 \over \sum_{k=1}^n {1 \over R_k} }$

Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias.

Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo:

1. Dos resistencias: En este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:

$R_{AB} = {R_1R_2 \over R_1 + R_2} \,$

2. k resistencias iguales: Su equivalente resulta ser:

$R_{t} = {R \over k} \,$