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Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Consideramos uma superfície composta A, aquela que pode ser dividida em várias superfícies componentes \bgroup\color{black}$A_1$\egroup, \bgroup\color{black}$A_2$\egroup, ..., \bgroup\color{black}$A_i$\egroup, \bgroup\color{black}$A_n$\egroup. Como a integral que representa o momento de inércia de A pode ser subdividida em integrais calculadas sobre \bgroup\color{black}$A_1$\egroup, \bgroup\color{black}$A_2$\egroup, ..., \bgroup\color{black}$A_i$\egroup, \bgroup\color{black}$A_n$\egroup, o momento de inércia de A em relação a um eixo dado, poderá ser calculado somando-se os momentos de inércia das superfícies \bgroup\color{black}$A_1$\egroup, \bgroup\color{black}$A_2$\egroup, ..., \bgroup\color{black}$A_i$\egroup, \bgroup\color{black}$A_n$\egroup em relação ao mesmo eixo. Lembrando de que as \bgroup\color{black}$n$\egroup parcelas de cada superfície na composição do momento de inércia da área total deve ser obtida ustilzando o teorema dos eixos paralelos. Vejamos um exemplo simples:



Seja calcular o momento de inércia da superfície apresentada na Figura 7.4 em relação aos eixos \bgroup\color{black}$x$\egroup e \bgroup\color{black}$y$\egroup apresentados na mesma figura.

Figure 7.4: Aula 7 - Exemplo 2
\resizebox{50mm}{70mm}{ %
\vspace{-20mm} %
\includegraphics{/home/marvinsc/Academico/Ueg/Mecanica/2001_1/Aulas/Figuras/aula7_exemplo2.eps}}



Como na maioria dos problemas de mecânica existe mais de uma forma de chegar a solução, apresentaremos agora uma tabela que facilita a organização dos cálculos.



Figura eixo \bgroup\color{black}$\overline{I}$\egroup Área d I
x \bgroup\color{black}$7,2 \cdot 10^5$\egroup 2400 30 \bgroup\color{black}$2,88 \cdot 10^6$\egroup
1
y \bgroup\color{black}$3,2 \cdot 10^5$\egroup 2400 20 \bgroup\color{black}$1,28 \cdot 10^6$\egroup
x \bgroup\color{black}$2,0 \cdot 10^4$\egroup 600 45 \bgroup\color{black}$1,235\cdot 10^6$\egroup
2
y \bgroup\color{black}$4,5 \cdot 10^4$\egroup 600 20 \bgroup\color{black}$2,85 \cdot 10^5$\egroup
x \bgroup\color{black}$2,0 \cdot 10^4$\egroup 600 5 \bgroup\color{black}$3,50 \cdot 10^4$\egroup
3
y \bgroup\color{black}$4,5 \cdot 10^4$\egroup 600 20 \bgroup\color{black}$2,85 \cdot 10^5$\egroup


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \sum I_x = 2,88 \cdot 10^6 - 1,235 \cdot 10^6 - 3,50 \cdot 10^4 = 1,61 \cdot 10^6 \; uc^4\egroup\end{displaymath}


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \sum I_y = 1,28 \cdot 10^6 - 2,85 \cdot 10^5 - 2,85 \cdot 10^5 = 7,10 \cdot 10^5 \; uc^4\egroup\end{displaymath}



Onde \bgroup\color{black}$uc$\egroup = unidade de comprimento. A figura 1 é o retângulo que envolve toda a superfície, considerado cheio, as figuras 2 e 3 são os retângulos contidos no interior da figura, considerados como sendo vazios. Na soma das inércias, aquelas oriundas de áreas consideradas vazias entram com sinal negativo.


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marvinsc 2006-03-29