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Teorema dos Eixos Paralelos

Consideremos o momento de inércia \bgroup\color{black}$I$\egroup de uma superfície de área \bgroup\color{black}$A$\egroup em relação a um eixo \bgroup\color{black}$AA'$\egroup, conforme o mostrado na Figura 7.3, de modo que \bgroup\color{black}$y$\egroup é a distância de um elemento \bgroup\color{black}$dA$\egroup ao eixo \bgroup\color{black}$AA'$\egroup. Desse modo podemos escrever que:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} I_{AA'} = \int y^2 dA \egroup\end{displaymath}

Figure 7.3: Teorema dos eixos paralelos
\resizebox{70mm}{50mm}{ %
\vspace{-20mm} %
\includegraphics{/home/marvinsc/Academico/Ueg/Mecanica/2001_1/Aulas/Figuras/aula7_eixo_paralelo.eps}}



Consideremoas agora um eixo \bgroup\color{black}$BB'$\egroup paralelo a \bgroup\color{black}$AA'$\egroup, passando pelo centróide \bgroup\color{black}$C$\egroup da superfície. Se \bgroup\color{black}$y'$\egroup é a distância de um elemento \bgroup\color{black}$dA$\egroup ao eixo \bgroup\color{black}$BB'$\egroup podemos escrever que \bgroup\color{black}$y = y'+ d$\egroup, conforme é mostrado na figura, sendo \bgroup\color{black}$d$\egroup a distância entre os eixos paralelos \bgroup\color{black}$AA'$\egroup e \bgroup\color{black}$BB'$\egroup



Se desejamos calcular o momento de inércia da superfície em relação ao eixo \bgroup\color{black}$AA'$\egroup temos que:


\begin{displaymath}
I_{AA'} = \int y^2 dA = \int (y' + d)^2 dA = \int (y')^2 dA + 2d \int y'dA + d^2 \int dA
\end{displaymath} (7.3)



O termo \bgroup\color{black}$\int (y')^2 dA$\egroup que aparece na Equação (7.3) corresponde ao momento de inércia da superfície em relação ao eixo que passa pelo centróide ( \bgroup\color{black}$BB'$\egroup), o qual denotaremos pelo símbolo \bgroup\color{black}$\overline{I}$\egroup. O termo \bgroup\color{black}$ \int y'dA$\egroup é o momento de primeira ordem da superfície em relação ao eixo que passa pelo centróide, e como já sabemos, É NULO. Finalmente, o termo \bgroup\color{black}$\int dA$\egroup corresponde ao valor da área ( \bgroup\color{black}$A$\egroup), da superfície. Portanto, podemos reescrever a Equação (7.3) do seguinte modo:


\begin{displaymath}
\fbox{\rule[-.5cm]{0cm}{1.25cm} $ I = \overline{I} + Ad^2 $}
\end{displaymath} (7.4)



A Equação (7.4) é a forma mais conhecida do teorema dos eixos paralelos, que diz que o momento de Inércia de uma superfície \bgroup\color{black}$A$\egroup em relação a um eixo qualquer \bgroup\color{black}$x$\egroup é igual ao momento de inércia dessa mesma superfície \bgroup\color{black}$A$\egroup em relação a um eixo \bgroup\color{black}$\overline{x}$\egroup que passa pelo centróide e é paralelo a \bgroup\color{black}$x$\egroup mais o produto entre a área da superfície e o quadrado da distância entre os eixos \bgroup\color{black}$x$\egroup e \bgroup\color{black}$\overline{x}$\egroup.



O teorema dos eixos paralelos serve para obter o momento de inércia de uma seção em relação a um eixo, quando já sabemos o momento de inércia dessa mesma seção em relação a outro eixo, onde já se sabe o valor do momento de inércia, com a condição de que os dois eixos sejam paralelos. Vamos ver melhor como isso funciona ? Lembra da sugestão de exercício quando estávamos obtendo momento de inércia de uma superfície retangular por integração direta ? Vamos então calcular o momento de inécia de uma superfície retangular em relação a um eixo \bgroup\color{black}$\overline{x}$\egroup que passa pelo centróide e é paralelo ao eixo \bgroup\color{black}$x$\egroup que contém a base do retângulo. Usando a Equação (7.4) podemos escrever que:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \frac{bh^3}{3} = I_{\overline{x}} + (bh) \cdot \left( \frac{h}{2} \right)^2 \egroup\end{displaymath}



Portanto, se queremos obter \bgroup\color{black}$I_{\overline{x}}$\egroup, temos que:


\begin{displaymath}\bgroup\color{black} I_{\overline{x}} = \frac{bh^3}{3} - \frac{bh^3}{4} = \frac{bh^3}{12} \egroup\end{displaymath}


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marvinsc 2006-03-29