Muchos problemas matemáticos,
fısicos, económicos, etc. convienen expresarlos como suma de una serie de
potencias.
Este recurso es
especialmente útil en los casos en los que la función no es elemental; al
disponer de su representación
en
series de potencias, es posible analizarla, estudiando sus propiedades y su comportamiento.
Definición
Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
, en donde 
Es decir
Por ejemplo
en donde todos los 
valen 1, o
y todos sus 
.
Es interesante saber cuáles son los valores de
x Î R
para los que las
respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por
ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, 
es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +...
y esta
serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +...
+... que es divergente.
Pero para x = 1/2 es
que es una serie
geométrica de razón 
y su suma 
con lo que la serie
es convergente. Más aún, es una serie geometrica
de razón x y
será convergente si 
, es decir
si 
,
siendo 
.
Si se cumple esta condición:
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie
de potencias describe exactamentea a una función. En
este caso a 
, pero sólo en el intervalo (-1;1).
Gráficamente
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sólo definida en la parte marcada gruesa por la
serie
Si en el segundo
ejemplo tomamos x =1, se convierte en
Intervalo de
convergencia: Se
llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x
que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.
Radio de
convergencia:
Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.
En el caso de 
se observa
que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el
radio de convergencia es R = 1.
Se observa que el
intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi
para el I de 
.
Cálculo del radio e
intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir
que es una serie de
términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de que no necesariamente es de términos positivos.
La convergencia de 
la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si
será convergente.
Desarrollando
y entonces la serie
converge para
ó 
Llamamos R al
y además 
.
Para 
todos los valores de an=1, 
, en cambio para 
es 
y el I = R
