第二章  初等数学的创立

正当数学面临着积累起来的大量资料，有待于进一步整理时，希腊人为此做出了贡献。他们开始尝试对命题的证明，这对今日数学的奠基起到了决定性作用。正如著名数学史家克莱茵（M.Kline）所说：“数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的^①。”

数学在希腊的发展，有其社会原因。当时希腊奴隶制经过革命性的变革，变得比较完善，比较典型。马克思把它比喻为“发育正常的小孩^②”，恩格斯也指出，这种奴隶制“使农业和工业之间的更大规模的分工成为可能，从而为古代文化的繁荣，即为希腊文化创造了条件。没有奴隶制，就没有希腊国家，就没有希腊艺术和科学，…”^③因此，社会的变革，对希腊文化的发展起到了推动作用。

希腊是埃及、巴比伦的邻国。其地理位置为希腊人游访埃及、巴比伦，并与之贸易往来创来了条件。通过这些往来活动，使希腊人进一步掌握了埃及人、巴比伦人创造的数学。例如，被誉为希腊哲学、数学和科学的诞生地——小亚细亚爱奥尼亚（Ionia）地区的米利都（Miletus）滨临地中海，来自希腊本土、腓尼基和埃及的船舶都驶进它的港口，并有队商大道与巴比伦相通。

现在研究希腊数学，主要依靠拜占诞的希腊的手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录这与的^①。其原因是希腊的原文手稿没有保存下来（同纸草书写成易于毁坏，加之希腊人的大图书馆于兵燹）。

这些抄录本，可能做了若干修改。例如，我们虽无希腊人希恩（Heron）的手稿，但我们知道他对欧几里得《几何原本》做了若干改动。他给出了不同的证明，添补了一些定理的新例子和逆定理，就是希恩自己也提及到，他改动了《原本》中的若干部分^②。

另外，研究希腊数学还要依靠两批评述本，其一是帕普斯（Pappus公元3世纪）撰写的《数学汇编》（Synagoge或者Mathe-matical Collection）。其二是普罗克洛斯（Proclus公元410~485年）撰写的《评述》（Commentary）。

要从如上资料中，把希腊数学发展的历史整理出来，是一项浩繁而复杂的工作，由于学者们的艰苦努力，已经弄清希腊数学的基本史实。

         §2·1  组建学派，师徒相传

古希腊数学是在先后相继的几个中心地点发展起来的。每个中心地点，总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动，为数学大厦的筑起，添砖加瓦。用现在的术语描述这种活动，可谓创建学派，师徒相传。现仅列举几个学派，简略介绍学术活动成果。

                 一、爱奥尼亚学派

这个学派是由泰勒斯（Thales约公元前625—541年）创建的。泰勒斯早年从商，由于商业的贸易往来，有机会游访埃及、巴比伦，被当时兴旺发达的文化所吸引，开始倾心学习和研究天文、几何知识，被誉为“古希腊七贤人”之首^①。

数学与哲学有紧密的联系，在古代，数学家都是哲学家^②，正像我国古代的数学家一般都是历法家一样。泰勒斯也是一位哲学家，在他的学说里，首次对自然界进行脱离宗教的解释。认为水是万物之源，指出，“植物的生命保存在它的汁液里，因为植物干燥了就会死；动物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取湿润。”

根据现有原典史料证明，泰勒斯是古希腊的第一位天文学家。由于他准确地预言日食，而使两国剧烈战争停止。据说，两国交战，五年没见胜负，泰勒斯所言上天反对战争，某月某日必用日食来作警告。果然到了那一天，两军正酣战不停，突然太阳失去光辉，明星闪烁，白昼顿成黑夜。双方士兵将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还可互通婚姻^③。他这种预测，不是一种神赋，而是对古巴比伦天文学思想的发展^④。

泰勒斯创建的学派——爱奥尼亚学派，对发展数学起到很大作用。尤其对几何学的发展，起的作用更大。有人认为他是第一位几何学家。

根据欧几里得《几何原本》第一卷的注释者普罗克洛斯记载的史料^①，充分说明了泰勒斯学派确立和证明了为人们公认的第一批几何定理。这种记载是源于希腊数学史家欧德莫斯(Eudemus of Rhodès约公元前335年)著《几何学史》，遗憾的是这部著作已经失传。

根据普罗克洛斯记载，泰勒斯至少发现证明了如下几个命题：

（1）圆被任一直径所平分。

（2）等腰三角形的两底角相等。

（3）二条直线相交，对顶角相等。

（4）两个三角形两角与一边对应相等，则三角形全等。

泰勒斯应用这个定理求得不可及物体间的距离。例如，求从岸上一点到海中一只船的距离。求法如下图2—1。

                                      设：A是观察点，船在A的正前方

                                          P。由点A在岸上作AP的垂线，

                                          在所作垂线上截取任意长线段

                                          AB。再作AB的中点O。观察

                                          者沿垂直于AB的直线BK走，

                                          一边走一边看船P。走到点K，

                                          由点K观测使船和点O成一直

                                          线时，观察者的位置就确定了

                                          点K。根据三角形全等定理可

                                          以证明，三角形AOP和BOK

全等。因此，所求距离AP等于线段BK，BK的长是可测量的。

根据希腊历史学家普鲁塔克（Plutareh，约公元46—120年）的记载，泰勒斯曾应用两个等角三角形对应边成比例的定理，测出金字塔的高度。

从以上看出，泰勒斯学派迈出了对“数学命题证明”的关键一步，这标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学发展史上也是一次重要飞跃。

           二、毕达哥拉斯学派

这个学派是以贵族式的观念形态作为基础的，是具有神秘色彩的组织。领头人毕达哥拉斯（Pythagoras约公元前572？~公元前501？年）生于撒摩斯岛。青年时期曾游历古埃及和古巴比伦，学习了数学和神密主义信条，大约在公元前530元回国，建立了自己的组织，据说，由于毕达哥拉斯参与政治斗争，后来被杀害。他死后，其学派还继续存在200年之久。

“数”的神秘性奠定了毕达哥拉斯学派的思想基础。他们认为数是现实的本源，是严谨性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，并企图用数来解释一切，甚至认为万物都包含数，且万物也都是数。^①

毕达哥拉斯学派对“数”所进行的分类，是依据几可和哲学的神秘性来分的。按照几何图形分成“三角形数”，“正方形数”“长方形数”、“五角形数”等等。

如图2-2

实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来。

例如，正方形数的图形，可分为小正方形和曲尺形（gnomon），反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和，1+3+5+……如图2-3。

                                            毕达哥拉斯还把“数”分成

                                        “完全”娄笔“相亲”数，例如，

                                         6是完全数。因为它的每个因数

                                         之和为6，即6=1+2+3。220和

                                         284是相亲数。因为220的因数

之和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。而284的各因数之和是：1+2+4+71+142=220。

毕达哥斯发现了著名的“勾股定理”^①，但是，在什么情况下发现的，怎样证明的，说法不一^②。普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第一卷题47时，说得也不明确，他指出“我们古代历史有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯所发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛”。普洛塔克（Plutarch约公元46-120）指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明的^③。

在直角三角形中，二条直角边分别为a,b,斜边长为c,以a+b为一边画正方形，这样，在此正方形中，含四个直角三角形，一个以a为边的正方形，一个以b为边的正方形。如图2-4。

       图2-4                          图2-5

另外，再画一个同样以a+b为边长的正方形，如图2-5，经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形，因为二个正方形面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到

毕达哥拉斯学派通过“勾股定理”，揭示直角三角形三边之间的关系，若假设直角三角形是等腰的，直角边是1，那么弦是 。他们用归谬法证明了 与1不能公度^①。其“证明”用现代语言表示为

设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 （最小整数比），于是根据毕达歌拉期定理得

由于p²是偶数，P是偶数（因为任一奇数的平方必是奇数）^②，而 是既约的，因此，q必为奇数。P必为偶数，设P=2a，于是 ，这样q²=2a²，这样q²是偶数，于是q也是偶数，但q同时又是奇数，产生矛盾。

实际上，这是一种重要的发现。然而，当时毕达哥拉斯认为，世界上一切都是由整数和整数之比构成的，因此这一发现违背了他们的信条。相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的发现者希帕索斯（Hippasas公元前5世纪）推到波涛汹涌的大海里。从此，人们不敢对无理数进行研究与探索，导致了数学史上的第一次危机。

毕达哥拉斯学派还研究了正多面体，主要研究了正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，如图2-6，正四面体，正六面体，正八面体等三个正多面体古埃及人已经知道，正十二面体和正二十面体是毕达哥拉斯学派的发现。

           正四面体            正六面体            正八面体

毕达哥拉斯学派在在对数学的发现中，不断追求“美”的形式。他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图。就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”^①也是这个学派首先认识的。

                   三、诡 辩 学 派

“诡辩”（Sophism,）一词，是具有智慧的意思。这个学派也译作“哲人学派”或“智人学派”。

这个学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等学科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等。其代表人物是普洛塔哥拉斯（Protagoras约公元前481-411年）、哥尔基亚（Gorgias，约公元前487-380年）、安蒂丰（Antiphon约公元前480？一前411年）等。

诡辩学派主要研究数学历史中的“三大难题”。

（1）倍立方问题（求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍）。

关于这个问题的产生，有一种传说^①。在第罗斯（Delos）岛上，瘟疫不断漫延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们，应把现有立方祭坛加倍，这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”。

这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方体，使得：

即： 。

（2）任意角三等分问题。

所谓“初等几何作图法”是指：①直尺只能做连结两点的直线之用。②圆规只能做画圆之用，不许作分度计或作量长度之用。有了这两个条件，任意角三等分是不可能的。如果没有上述两个条件，任意三等分问题当然是可能的。三等分法有几十种之多。

倍立方问题和任意角三等分问题，实际上都是属于解三次方程问题。

（3）化圆为方问题（求作一正方形，使其面积等于一已知圆）。同样如果取消作图工具的限制，也是容易解决的，欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇（Leonardo davinci1452-1519年）曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法。取一圆柱，使底和已知圆相等，使矩形的面积等于 正好是圆的面积，再将矩形改为等积的正方形^①。

二千多年来，三大几何问题显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾作出不懈的努力，都未如愿以偿。直到1637年笛卡儿（Descartes 1596-1650年）创建解析几何，尺规的作图的可能性才有了准则。1837年凡齐尔（Pierre Laurent Wantzel1814-1848年）给出了“倍立方”，“三等分任意角”不可能性的证明。1882年林德曼（Ferdinand Lindemann1852-1939年）证明 的超越性，化圆为方问题的不可能也得以确立^②。1895年F·克莱茵（F·Kline）给出；三大几何问题不可能用“初等几何作图法”来解答的简单而明晰的证明，彻底解决了两千多年的悬案^③。

值得注意的是，随着人们对“几何三大问题”的研究，往往把人们引到数学的新领域，从而激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及“割圆曲线”的发现，就是在寻求解决“几何三大问题”中应运而生的。

           四、厄勒亚学派

这个学派主要活动在厄勒亚（Elea，意大利的南端）地区，这个学派的主要人物是芝诺（Zeno约公元前496-430年），他首次用量的观点，揭示运动中的矛盾，提出了四个违背常识的悖论^①。

（1）二分法说（dichotomy）：认为运动不存在，因为一个物体从A到B，首先要通过AB距离的一半，但要通过一半，必须通过1/8，如此下去，永无止境。芝诺认为此物体永远不能到达B地。

（2）追龟说：据说在希腊有一位行走如飞的阿溪里（Achilles）。芝诺认为他永远追不上步履迟钝的龟。比如说：阿溪里以10倍的的速度追逐距离他100米处爬行的龟。当阿溪里走100米时，龟爬了10米，阿溪里再追10米，龟又前进了1米，阿溪里再追1米，龟又爬了 米，这样永远相隔一小段距离，所以总也追不上。

实际上，这个问题用极限方法可以马上得出结论。他（它）们走过的各段路程为：100，10，1， 这是无穷递缩等比数例。

即在111 米处阿溪里追上龟。

（3）飞箭静止说：芝诺认为飞箭在任一瞬间必在一确定位置，因而是静止的，于是所谓运动，不过是多个静止点的总和。

（4）运动场（Stadium）论：两组个数相同的物体沿跑道相向移动，一组从终点出发，而另一组是从中点开始运动，两者以相同速度移动，芝诺认为一半的时间等于双倍的时间。

悖论的思想的核心是自相矛盾，据说在远古时期曾产生过悖论。相传一个残忍的国王，下令不许任何人进入他的领地，否则就要处以死刑，并规定进入他的领地说真话，要处以砍头刑，说假说处以淹死刑。一天，一个聪明的农民大摇大摆地进入他的领地，说：我是来被淹死的，守卫领土的士兵无法处刑，若认为他说的真话，应处以淹死刑，一旦执行，他的话又变成真话。这样，使国王也束手无策，只好放走农民。

芝诺在描述运动中，导致自相矛盾一悖论。实际上，他否认了运动的真实性，没能认识极限，而导致错误的结论。但悖率的思想给数学界以极大的影响，至今余波未尽。

           五、柏拉图学派

这个学派是继巧辩学派之后兴起的。是在雅典政治地位衰微，为了进一步巩固希腊哲学、科学文化地位而建立起的一个学派。其主要代表人物柏拉图（Plato约公元前427-347年），年青时代曾跟随苏格拉底（Socrates公元前468-399年）学习哲学，受到逻辑思想影响，而后成为雅典举世睹目的大哲学家。

柏拉图虽然不是数学家，但他特别重视数学，充分认识到数学对研究哲学和宇宙的重要作用，积极鼓励自己的朋友和学生学习和研究数学。据说在他的学园门口写着：“不懂几何者不得入内”（                ）^①！柏拉图在《共和国》（Republic）一书中，曾强调：……我们必须竭力奉劝我国未来的主人翁学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到他们唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了它在军事上的应用，为了灵魂本身去学的；而且又因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径……。我所说的意思是算术有伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入不可捉摸的对象……^①”

柏拉图重视数学的严谨性，在数学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明^②，培养出一批为数学发展做出贡献的数学家。

柏拉图学派的欧多克索斯曾一度是柏拉图的学生，他创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几何原本》第5卷《比例论》大部分内容是欧多克索斯的工作。

由于柏拉图学派主张科学的任务是发现自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来，并首次提出了，应该把严格推理法则系统化，为数学走向新的阶段起到了前导作用。

§2·2 撰写名著，始创初等数学

由于希腊各学派创建了很多数学知识，但都没有形成比较完整的系统，到了亚历山大时期^③，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而独立科学。从以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中。完成此项具有计划时代意义工作的是亚历山大前期大数学家欧几里得（Euclid约公元前330—公元前270年），他撰写名著《几何原本》（Elements），开创了数学发展的新时期。

                 一、欧里几得著《几何原本》

欧几里得的生平，现在知道得很少，由帕普斯记述，他在公元前300年左右，来到亚历山大数学^①。人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家。欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧，急功近利的狭隘思想。斯特比亚斯记述一个有趣的故事：“一个学生学习‘几何’时，才开始学习一个定理，就问欧几里得，学了之后得到什么好处呢？欧几里得说，给他三个钱币算了，他就想得这点利益。”（Florilegium  Ⅳ）^②

欧几里得的巨著《几何原本》是他一生中最重要的工作成果。这部著作的形成具有无与伦比的历史意义。他精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何 学的发展充满了活的生机。这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，像《几何原本》那样长期广为传诵。从1482年到19世纪末，《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷一千版以上。在此之前，它的手抄本统御几何学也已达一千八百年之久。

欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。因此，当《几何原本》问世之后，有人认为其它诸类书籍逐渐销声匿迹了。

  二、《几何原本》的主要内容及特点

欧几里得本人撰写的《几何原本》的手稿现已无存，它的所有英文版和拉丁文版都来源于希腊人的手稿。数学史家海伯格（J·L·Heiberg）曾编集了《欧几里得全集》八篇^①。这是我们能见到的标准的“欧几里得原本”。后来，又根据海伯格的深入研究，进行各种考证，开始定本。从第一篇到第五篇，在希腊文中，有拉丁文译文，并附有详细的脚注。第六篇是达塔（Data）收录的，第七篇是奥蒂卡（Optica）和卡托埃克（Catopdrica）收录的，第八篇是由毕诺密那（Phaenomena）和穆斯卡（Musica）收录的。

在这个基础上，英国数学史家T·L·希思（Heath  1861-1940）著成欧几里得《几何原本》三大卷^②。在此著作中，把海伯格校订的希腊原文翻译成英文，并附有详细的注释。对现在研究《几何原本》有重要参考价值。

另外，也有人把海伯格版的著作，译成德文^③。这种德文版没有希思那样的详细注释。但是，对重新独立研究《几何原本》，尚有方便之处。

现将流行的欧几里得《几何原本》（希恩版本）的内容简要介绍如下：其主要定义、公理、公设可用下表列出：

在希腊时期，公理和公设是有区别的^①，公理被认为是适用于一切科学的真理，而公设只应用于几何。亚里士多德（Aristotle公元前384-322年）曾说，公设无需一望便知其是否为真，但应从其所推出的结果是否符合实际而检验其是否为真。

第五公设叙述冗长，不像其它公设叙述简明，曾长时期引起人们对其修订、证明的争论，结果引出非欧几何的发现。

                                      第一篇：有23个定义，5个公理，

                                   5个公设（见上表）48个命题，主要叙

                                   述全等形的一些定理、平行线、毕达哥

                                   拉斯定理、初等作图法、平行四边形等。

                                   很多命题给出巧妙的证明，如：

                                       命题5.等腰三角形两底角相等。

                                           欧几里得的证明比目前一些初

                                       级课本还好。

欧几里得延长AB到F如图2-7。延长AC到G，使BF=CG。于是，△AFC≌△AGB，因而FC=GB，∠ACF=∠ABG，且∠3=∠4

∵△CBF≌△BCG  ∴∠5=∠6

故∠1=∠2

第二篇：有2个定义，14个命题，主要阐述几何代数法。由于希腊人不承认无理数，很难从数量上解决长度、面积、体积等问题，甚至曾用线段来代替数。

第三篇：含有11个定义和37个命题，主要阐述圆的理论。命题1，3，4，9是关于已知圆心作图等问题。命题2，7，8是解决与圆有关的问题；命题16-19是关于圆的切线及其性质；命题20是关于圆心角和圆周围角的关系；命题21是圆周角定理；命题22是我们熟知的圆内接四边形定理；命题32是关于弦切角等于同弦上的圆周角之定理；命题33和34是作含有已知角的圆弧等作图题；命题20—34是与圆弧有关系的一类问题；命题35和36是关于方幂定理；最后37题是关于方幂逆定理。

第四篇：含有7个定义和16个命题，主要论述圆的内接和外切图形。如三角形、正方形、正五边形和正六边形。命题1是画已知长度的弦，命题2、4是关于三角形内切圆问题；命题6是作圆内接正方形；命题7是作外切四边形问题；命题8、9是关于圆内接或外切正方形问题；命题15是讨论圆内接或外切正六边形作图问题；最后，命题16是作圆内接正十五边形问题。

（根据J·L Heiberg版全集VP272）

第五篇：含有18个定义和25个命题。这部分是欧几里得《几何原本》最重要的部分，与其它部分相比，影响更为深远。有些命题也曾引起人们长时间的争论。这部分内容主要是根据欧多克索斯（Eudoxus）的工作写成的。在这部分内容中，把比例关系的理论推广到不可公度量，避免了无理数。

第五篇对后期数学的发展，有着重要意义。在欧几里得书中，“比”只是作为比例的一部分出现的，因而并无一般性的意义。他们认为这只能应用于几何，从而觉得几何者是严格的。当文艺复兴时代和其后几个世纪里人们又重新确定无理数时，许多数学家认为有的命题没有逻辑基础，但“比”的形式似应肯定。

第六篇：含有4个定义和33个命题，主要是利用第五篇的比例理论讨论相似形。本篇在定义后面，有33个命题。

命题1，等高的三角形和等高的平行四边形（的面积）之比等于它们底边之比。命题4、5、6是关于两个三角形相似的条件问题。

第七、八、九篇，主要阐述数论的内容，揭示整数和整数之比的性质。许多定义和定理特别是关于比例的问题，重复了第五篇中的内容。

第七篇：含有22个定义，39个命题。主要指出“单位”是指每一个存在的事物，而“数”是单位的集合。

22个定义主要是给出的约数、倍数、偶数，奇数、素数、互素数、两数的积、平面数、立体数、比例、相似的平面数、立体数、完全数等定义，之后给出39个命题。

第八篇：没有定义，只含有27个命题，主要讲述等比数列、连比例、平方数、立方数等问题。在讨论等比数列时，与现在的方法不同，使用了连比例。

第九篇：也没有给出定义，只是给出36个命题。特别值得注意的是，本篇给出了著名的“欧几里得素数定理”。即命题20，“素数的个数是无限的”。欧几里得用反证法证明了这个定理。

第十篇^①：含有16个定义，115个命题。

欧几里得考察了可能表为今日代数中 的所有线段，a与b则表示两有理线段。当然，并不是所有无理量都能这样表示的，因此，欧几里得只涉及了在他的几何代数法里所出现的无理量。

第十一、十二、十三篇主要讲述立体几何和穷竭法。

第十一篇：含有29个定义，39个命题。

定义1，立体是有长、宽、高的（那种东西）。

定义2，立体的边只是之一是一个面。

…………………………………………………

命题1、如果直线的一部分在平面内，那么整个直线在平面内。

命题2、相交的二条直线，可以确定一个平面。

…………………………………………………

第十二篇：含有18个命题，主要是阐述面积和体积问题，特别是曲线和曲面所围形体的面积和体积。本篇广泛地应用了穷竭法（Method of exhaustion）。穷竭一词起源于相继作正内接多边形“穷竭”于圆的面积。希腊人没有用这个名称，到了17世纪，人们才首先使用。这种方法，仅仅是走向严格极限概念的一步。但，我们会看到这种方法是不严格的。它依赖于间接证法，不含明确的极限步骤。实际上，欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼兹这方面的工作严密可靠，因后者度图建立代数方法和数系且想用极限概念^①。

第十三篇：含有18个命题。命题（1—12）叙述正多边本身的性质及圆内接正多边形的性质。以此为基础，论述五种正多面体，即正四面体（命题13），正八面体（命题14），立方体 （命题15），正十二面体（命题16），正十二面体（命题17）内接于一个球的问题。在最后的命题18，证明了正多面体不能多于五种。

欧几里得《几何原本》十三篇中，共含有467个命题，有的版本还多两篇，共十五篇。

三、对欧几里得《几何原本》的历史认识

欧几里得《几何原本》是一部最早且内容丰富的数学书，是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的首次尝试。

1、欧几里得创造性地建立《几何原本》的体系，按照先摆出所有公理，明确提出所用的定义，由浅入深地揭示一系列定理的方法。这样编排符合人们的认识规律，所以，一直被人们所沿用。

2、欧几里得在《几何原本》中，对公理的选择是很出色的，使得用一小批公理证出几百个定理。其中，有很多是深奥的。尤其对平行公理的更显得高明。在定理的取舍方面，他也是费尽心机的。例如，在书中没有列入三角形三个高交于一点的定理。还有一些其它定理，对此他不屑一顾。

3、欧几里得把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑让明是确立数学命题真实性的一个基本方法。从而把数学作为演绎系统建立起来，使数学从经验知识上升成为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生，并相对独立地得到发展。

4、欧几里得示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。有的证明相当精练，有独到之处。

5、人们对欧几里得撰写《几何原本》的目的有不同看法。有人认为是给数学家看的学术著作，也有人说是写给学生的课本。《几何原本》对数学教育产生了极为深远的影响，二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。

当然，《几何原本》也有不完善的地方，甚至有些地方出现错误，例如，没有逻辑依据地运用了运动的概念，认为把图形从一处移动到另一处时所有性质是保持不变的，称为“重合法”证明等等。

§2·3  阿基米德对数学发展的贡献

阿基米德（Archimedes公元前287—212年）是数学历史上最伟大的数学家之一。近代数学史家贝尔（Eric Temple Bell,1883—1960年）说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯。不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德”。^①阿基米德的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题。古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔克（Plutarch公元前一世纪）说：“把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到。但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就会立即得出这样的印象，这个解法他自己也会找到的。阿基米德用如此容易和简明的方法把我们引向目的^①。”事实也证明，阿基米德对数学发展作出了重要贡献。

阿基米德出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家，曾撰写过有关太阳和月球直径的文章^②。阿基米德早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者一直保持联系。

阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中。普鲁塔克曾写道：“阿基米德忘记了吃饭，完全忽视关心自己的身体。经常要强迫他去洗澡，擦上香油膏，然而这在这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形^③。”古罗马建筑师维脱罗卫（Vitruvius，公元前2世纪）记述了阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不己。有一次叙拉古的亥厄洛（Hieron）王让人制造纯金的皇冠，做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴定。阿基米德曾长时间地顽强地思考解决方法。正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆里的时候，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻。于是忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量。这次成功地发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊：“我找到了”^④。经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”——物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量。

阿基米德在晚年表现了极大的爱国热情，为祖国的安危献出了自己全部力量和智慧。

当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，他发挥了自己的聪明才智，制造新的机械反抗罗马先进的军事技术。阿基米德建造了许多机器，做好在任何情况下击退敌人的一切准备。若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的重炮弹和箭，击败敌人的战船。当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，他便使用了适合较小距离的投射机器。这样，使罗马军队胆战心惊，致使他们无力再向前推进。有的希腊文献记载当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光，使兵船焚烧。另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去，烧敌人的战船。总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式机械，给罗马军队以沉重的打击，为保卫祖国做出了重大贡献。后来终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了。而阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形。当一个罗马士兵冲到他面前时，阿基米德严肃地说：“走开，不要动我的图”。罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死了阿基米德，终年75岁。根据阿基米德的遗嘱，在他的墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着他特别珍视的发明。

阿基米德在科学研究中，注意到理论联系实际。在实践中，洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论。因此，阿基米德在天文学、力学、数学等方面都做出了重大贡献。

阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是阿基米德关于天文学的著作没有保留下来。根据希达克斯（Syntatis）的记载^①，为了进行天文观测，自己制作了仪器。在观测夏至、冬至中，误差只是1/4日，在当时是比较精确的。他还用仪器测量太阳的视角直径等。据说阿基米德撰写过《天文仪器的制作》（On the makyng of spheres）一书，现已失传。

阿基米德在数学中做出很多贡献。他的许多著作的手稿一直保存到现在^①。另外，一些数学史家都把他的原著译成现代文字，例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔·埃斯克（P·Ver.Eecke）的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯（E·J·Dijksterhuis）的名著《阿基米德》^②。

保存下来的阿基米德著作多半是几何内容的著作，也还有一部分力学和计算问题的著作。主要是《论球与圆柱》、《抛物线求积法》、《圆的度量》、《论螺线》、《论平板的平衡或者它的重心》、《论锥型体与球型体》、《砂粒计算》、《论方法》（主要记述阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理），《论浮体》、《引理》等。

阿基米德的求积法^③蕴育着积分思想的萌芽，对几何学的发展起到了重要作用。利用这种方法，发现了“球的体积等于它的外接真圆柱体积的2/3”，以及“球的表面积是其大圆面积的4倍”定理。图2-8就是按如上定理刻在阿基米德墓碑上的图形。

阿基米德还用上述方法，求出抛物线与其割线所围成的面积。假定求由抛物弭的弦AB截得的抛物线弓形APB的面积，如图2-9。阿基米德的求法可概括如下：在抛物线上，作平行于弦AB的切线，切点为P，连结PA和PB。三角形APB的面积大于弓形

            图28

APB面积的一半。同样，对新的弓形AQ₁P和PQ₂B作三角形AQ₁P和PQ₂B，这时就得到了 内接图形 AQ₁PQ₂B。把这个过程继续下去，抛物线内接多边形的面积不断增加，使它接近于抛物线弓形的面积。阿基米德证明了三角形APB的面积等于三角形AQ₁P与PQ₂B面积的和的四倍。对于其后的三角形也有同样的面积关系。由此，得出所有内接三角形面积的接近于抛物线弓形的面积。设三角形APB的面积等△，可得到抛物线弓形的面积为：

阿基米德在《圆的度量》一文中，利用外切与内接96边形求得圆周率

圆周率误差的估计。

阿基米德还研究了“螺线”，撰写出《论螺线》一书。值得称道的是，他用运动观点给出了“螺线”的定义。即“在平面上有一直线，把它的一个端点固定，使直线围绕这个定点作匀速运动，如果有一点同时从固定点开始沿直线作匀速运动，那么这个点最后描出一条螺线”。这种螺线后来称为“阿基米德螺线”。

阿基米德在《砂粒计算》（论数砂）著作中，把无数之多引入计算，对扩大表示数的可能性具有重要意义。在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过100 000，并将100 000叫帮无数之多。阿基米德把无数之多当作一种新的单位，并且为无数之多个无数多提出了又一个更高位的单位。据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”。实质上，要从7个方程中得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程：

-472949

这个方程的解的数字位数要超过20万^①！

阿拉伯天文学家阿尔·毕尔尼（Al-Biruni973-1048）在研究正九边形作图时，发现阿基米德关于作正七边形的论文^②。原文是希腊文，后译成阿拉伯文，原本损坏严重，经很大努力才复原。

《引理》（liber Assumptorum）一书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如：

命题2.  如果作正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍。

命题3.  如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的四条线段的平方和等于直径的平方。

在《论浮体》一文中，阿基米德首先给出了比重流体小的物体、相同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有划时代意义的杰作。

阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法。他根据力学的原理发现问题之法，被整理成《阿基米德方法》^①。1906年海堡（J·L·Heiberg）在君士坦丁堡（现称伊斯坦布尔，士耳其最大城市）发现阿基米德写给厄拉托塞（Fratosthenes约公元前274-194）的信以及阿基米德其他著作的传抄本，春中记述了阿基米德结合静力学和流体学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问题。其要点是：体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成。每条直线都有重量，而且与它们的长度成正比。因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重心。其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积、球和球冠面积、旋转双曲体积就是例证。实际上，这是通往积分的较快的迂回之路。阿基米德信心百倍地预言：“一旦这种方法确立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是我所预想不到的”。阿基米德的预言，终于在将近二千年之后，得以实现。18世纪，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoullis）由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解；19世纪中叶黎曼（Rie-mann）由由学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数。

阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下，证明的过程颇为复杂。但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明溶为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段。

§2·4  希腊后期的数学

由于希腊本土的文化逐渐退居次要地拉，科学中心；转移到埃及的亚历山岩石城，成为新的希腊文化渊薮。亚历山大后期（即希腊后期）的数学是指公元前146年罗马灭亡了希腊，逐步统一了地中海一带，亚历山大学者又继续不断地发明、创造，推动了数学的发展。这方面的工作是由几位数学家完成的。

在亚历山大后期，虽然对欧几里得《几何原本》没有做出根本性改革，但也做出很多添补工作。对此，首先做出贡献的是海伦。

海伦（Heron约公元60年）^①的生活年代，主要是根据海伦在《关于测量仪》（Dioptra）一书中，曾提出过确定罗马和亚历山大之间的时差方法，并用这种仪器 观测两地的月食，有人认为这种仪器是他大约在公元62年发现的。

海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部“百科全书”性质的书籍。在这部著作中，阐述了角“测量仪”一类器具的使用方法。他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，而其名著应是 《测量术》。这部著作 分三卷，一卷是面积的计算，二卷是体积的计算，三卷是解决面积和体积的有关比例问题。

第一卷是最重要的篇章，其中给出三角形边长，求三角形面积的公式，即“海伦公式”。

海伦是通过具体的三角形推出此公式的。首先假定三角形的边长分别是13，14，15。海伦给出二种方法计算，其一是利用三角形的高来求面积，其二是不求出高，利用三边求面积。他按如下步骤计算：

①将三边长相加：13+14+15=42

②取和的一半：42÷2=21

③从21减去各边长：21-13=8

                   21-14=7

                   21-15=6

④求积，开方：21×8×7×6=7056

此三角形的面积是84。

如上步骤，可写成如下公式：

  （△是三角形面积，a，b,c为三边长， 这就是著名的海伦公式。

M·康托尔曾指出，这个公式在海伦的原典中，有明确记载^①。但是，根据阿拉伯文献，阿基米德已经知道这个公式^②。而海伦曾利用三角形的内切圆证明了此公式。这个公式和我国大数学家秦九韶《数学九章》（1247）卷5“田域类”第2题“三斜求积”公式基本相同^③。秦九韶虽生于海伦之后，此公式并非由外输入，是秦九韶独立发明则为勿庸怀疑的事实。

在这个时期的三角学得到了进一步发展，三角学在西方的最早奠基人是依巴谷（Hipparchus）约公元前180年生于小亚细亚的比西尼亚（Bithynia），约公元前125年卒。他是古希腊的天文学家，为了天文观测的需要，作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这表没有保存下来。

继承和发展了依巴谷的研究成果的是古代天文学的集大成者托勒密（Ptolemy，约公元85—165年），他撰写了一部天文学著作，原名叫《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成Almagest的书名^①，意为《天文集》。

在这部著作的首卷^②附有一张弦表，相当于给出了从0°到90°每隔（1/4）°的正弦函数值。这应是世界上流传下来的最早的三角函数表。这种三角函数表的造成，是建立在五个三角公式上，这说明托勒密已经得到了如下几个公式，用现代符号表示为：

①

②

③

④

⑤

托勒密还用第⑤个公式来作内插计算^③。

托勒密在造表中，给出了“分”“秒”的名称^④。他采用了巴比伦人的60进制，把圆周分为360°。另一方面，又将半径分为60等份，每一份又分为60小份，每一小份再分更小份，依次叫做“第一小份”（拉丁文Partes minutoe Primoe）为“分”，第二小份（Partes  minutoe secandoe）为“秒”。

所谓“托勒密定理”（圆内接四边形两对角线长的积等于两组对边乘积之和），实际上是托勒密摘抄于依巴谷的著作^①。但是，托勒密从这个定理中得到推论，根据已知圆的直径和所对弧 的两条弦，可以计算 弧所对的弦。利用所得到的关系式同样能够计算出圆内接正多边形（正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正十边形）的边长。

托勒密在数学史上，第一个怀疑欧几里得平行线公设的明显性，度图推证出它的正确性，为后来几何学家的研究提出了新课题。

在射影几何中，做出贡献的另一名希腊后期数学家是帕普斯（Pappus约公元300年），他搜集了希腊各名家的著作，加之自己的创建，写成 8大卷《数学汇编》（Mathematical Collections）。

在希腊数学后期，代数学获得了重大的发展，为之做出卓越贡献的是丢番图（Diophantus约公元246——330年）。他的生平事迹没有流传下来，从4世纪的《希腊诗文集》里的麦特罗多尔所写的墓志铭，用谜语的形式叙述了他的生平：

丢番图的一生，童年生活占1/6，青少年的时代占1/12，然后独身生活占1/7。结婚后过了5年生了一个儿子，儿子比父亲早4年而亡，只活了父亲年龄的一半。”^②

可由一元一次方程算出丢番图的一年龄。即

丢番图撰写过三部书，其中最著名的是《算术》（Arithmetica），另外二部，有一部失传，还有一部是《多角数》（De polygonis numeris.）

根据《算术》序文记载，这部著作共有13卷 ，现存只有6卷。此书共解决了189个问题，主要阐述数的理论，但大部分是解决代数问题。这种脱离几何的范畴研究实际问题方法，为希腊数学增添了异彩。

丢番图的《算术》曾被人誉为“过渡代数”，尤其是把数学从纯粹语言叙述转为借助于简单的词和某些符号来表达^①，例如：用S表示未知数。

  M  表示单位1

  S  表示未知数S^②

         △^r  表示平方，S²

     K^r  表示立方，S³

        K^rK 表示立方的立方，S⁶

丢番图还给出了负数幂：S^-1，S^-2，…的表示法。表示各数的和，就把各符号简单地排列在一起。

丢番图曾给出减法用的符号，用  来表示，关于乘法、相等、大于、小于符啧的建立，主要是阿拉伯人的工作。因此，丢番图的《算术》基本上还是属于语言叙述阶段^③，但已经有了使用符号的萌芽。丢番图的代数还是原始的^④。

丢番图在解 等类型的不定方程时，显示出了他的卓越才能。每题都用特殊方法解决，没有给出一般解法。既使类型相同的题目解法也不同。正如德国数学史家韩克尔（Hermann Hankel1839—1873年）说：“近代数学家研究了丢番图100个题后，去解101个题，仍然感到困难。”^①

丢番图也曾以具体的实例研究不定方程。《算术》第二卷问题9，“把已知平方数分成两个平方数的和”。并把16分成两个有理数的平方和，即，4²=（ 若用现代符号写成一般形式为

求满足方程：

大数学家费尔玛就是看了丢番图的不定方程，而提出所谓“费尔玛大定理”^②的。

丢番图也曾解过二个或二个以上未知数的联立一次方程组^③。

总之，丢番图是把新思想引入数学的亚历山大数学家的最后代表，在代数方面做出了重要贡献，被誉为代数家的鼻祖，人们用“解方程的形式，刻画他的年龄”，这亦是一种后世的深刻怀念吧！