一、巴比伦数学产生的社会背景

        “巴比伦人”是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学。

        大约在公元前二千多年，在两河流域建立了巴比伦王国（Babylonia），首都是巴比伦（Babylon）（今日伊拉克的一部分），位于巴格达南面约100公里。大约在公元前4000年左右，苏默人（Sumerians）开始在两河流域（古代称美索波达米亚  Mesopotamia）定居，大约在公元前3000年创造了自已的文化。

        在公元前2500年，苏默人受到在北面居住的闪族阿卡德人的政治控制，由于阿卡德人统治力量越来越强大，于是苏默文化就被阿卡德文化所淹没了。公元前1700年左右，在汉穆拉比（Hammurabi）王统治期间，其文化得到了高度发展，并由制定一部法典而垂名后世。

        汉穆拉比建立了巴比伦的第一王朝。他把自已称为“苏默人和阿卡德人的大王”。他作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取了清理灌溉的措施，制造抽水机，并在全国范围内，划分土地，分配收获的粮食，修建谷仑。向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展。这些都是使数学得以发展的社会因素。

        促使巴比伦数学产生、发展的另一个因素是建立了货币制度。开始时，他们把谷物或者银器作为货币单位。国家利用实物或银器征收税务，后来采取用银币代替货物的支付方法，这样进一步完善了货币制度，使单位换算成为必须。

        尽管巴比伦统治者变动频繁，但数学知识的传播和使用，从古代起至少一直到亚里山大时代，始终连续不断。

        巴比伦人用泥板书记载着数学的内容。然后，保存下来的泥板书却没有纸草书那样多。可能是泥板靠太阳烘干，难于保持原样。另外巴比伦的书写方式也阻碍了长篇论著的编写。

二、巴比伦数学主要内容

        巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学主流作出贡献的民族。对其原始数学内容的考察，大部分来自近百年来考古研究的结果。

1、记数法与进位制

古巴比伦人是用楔形文字来记数的。这种楔形文字（Cuneiform）是根据一百

多年前人们的发现。用头部是三角形的木笔刻写在软泥板上，然后烧或晒干，使它坚硬如石。字的形象楔子，所以叫楔形文字。如图1—4。

        他们用垂直的楔形来表示1，如用     。用末端二个横向楔形表示10，如   。用记号        表示21。

        从以上可以看出，巴比伦数的体系与埃及以及罗马数字都很相似。但是，值得注意的是巴比伦人似乎有位值制的观念，曾采用60进制。主要根据是1854年，地质学家W·K劳夫特斯（W·K·Loftes）在森开莱（现在的拉山或拉莎）发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49…。后面中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后跟着1·21，再后是2·24，直到最后是58·1。这个数列只有假定其为60进位，才能很自然地理解，即：

                     1·4 = 60 + 4 = 64 = 8²

                     1·21  60 + 21 = 81 =9²

                    …………………………………………

                     58·1 = 58 ×60 +1 = 3481 = 59²

        应该指出巴比伦的进位制，是不甚明显的。因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板上没有发现零号。例如，（5，6，3），    可表示5×60’ +6×60°+3×60^－１ =3061/20 ，而确实表示什么，要由上下文来确定。

        在实际应用中，巴比伦人并不限于60进制，他们也用60，24，12，10，6等混合进制的数表示面积、日期、钱币和重量等。

2、算术运算

由于巴比伦从1到59这些数都是以1和10，或更多一些数为基本记号结合而

成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉这种记号罢了。

        他们在做整数的乘法时，采取“分乘相加”的方法。例如，一个数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加。他们造出了一些乘法表。

        例如，7的乘法表和16、40的乘法表（右边用现代符号表）

        他们在做整数除以整数时，利用乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表。

        巴比伦人研究了数的平方、开平方、立方和开立方问题。当方根是整数时，给出了准确的值。对于其他方根，相应的六十进制数值只是近似的，并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表，给出了求 型的方根近似公式。

        按此方法，求的近似值 ，若将其平方后，总是比原数大。

        3、代    数

        巴比伦人不但有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力。

        例如，在赛凯莱（Senkereh）出土的古巴比伦（汉穆拉比王朝时期）的原典A08862，记载着下面的问题，用现代语言叙述：

        一块长方形土地面积（数字）加上长与宽之差为3·3（即183），而长与宽之和为2·7，这块地的长、宽、面积各几何？

        ⑴古巴伦人的解法（按60进制计算）：

                     27+3.3 = 3.30

                     2+27=29

                     29÷2=14.30

                     14；30×14；30=3.30；15

                     3.30.15－3.30 = 0；30

                     0；15的平方根是0；30

                     14；30 + 0；30 =15          （长）

                     14；30－0；30 = 14

        因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2 = 12（宽）

                     故得到 15 × 12 = 3.0   ( 面积 )

                                   15－12 = 3

                                   3.0 + 3 = 3.3

        ⑵ 如果使用现代记号, 设长为x , 宽为y , 则可列方程组

        从原典的最后行,得x = 15 , y = 12 是满足方程组 ⑴ 的解。

        在前面解题时，实际上是引用新的宽y’  代替原宽y ，即

                            y’ = y + 2，y = y’－2    

        根据这种代替，使问题简单化了，可得到新的方程：

        把方程 ⑵ 的第1式，加到方程组 ⑴ 第2式，可立刻得出（在原典中，清楚地写着）：

                            27 + 3.3 = 3,30                    2 + 27 = 29 

        然后,继续解方程组 ⑵ ,从中,我们可以发现解方程组的一般方法,用现代符号表示方程组

                                    其解为     其中:

        巴比伦人所进行的各种步骤运算,是符合求解x , y’ 的一般方法的。但是，他们没有给出这种一般公式。

        在楔形文字的原典中，也有解一元二次方程的例子（略）。

        4、几     何

        在古巴比伦时期常常把几何问题化为代数问题来解决。在他们心目中，几何似乎不占有重要位置。但是，在最近布尔昂（E.M.Brains）博士和鲁达( M . Rutten )撰写的《斯萨数学书》（“Textes  mathe  matiques  de  Suse ，”）Memoires  Mission  archeol . en  I  ran  X X X  Ⅸ , Paris  1961, 指出了在斯萨出土的巴比伦的楔形文字原典中,含有求正多边形和圆的面积的近似公式,对几何问题也有一定兴趣。

        例如，在拉尔萨（Larsa）出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题（用现代符号表示）：

        已知底边b = 30 的三角形，由平行于底的直线把其分成二部分，即高分别是h₁，h₂的梯形F₁和三角形F₂，并且F₁－F₂ = △ = 7.0    h₂－h₁ = 8 = 20   求割线长x ,

                                               如图1—5。

                                               由以上条件，可建立如下关系：

                                               1/2 h₁  （x + b）－1/2 h₂x = △               ⑶

                                               h₂－h₁ = 8                                 ⑷

                                               由图形可知，比例式

                                               h₂：h₁ = x：（b－7x）                   ⑸

                                               成立。

        可解：                               ⑹

        又∵         可求得高  

                            h₁ = （b－x）·△/（1/2 b²－x²）                    ⑺

                                   h₂ = h₁ + 8 

        在这里建立的关于x、h₁、h₂的关系式是正确的，但还没有证据说明是一部纯粹代数的推演。

        巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积。他们用高乘以两底面积和的一半的方法计算。在很多情况下，其结果是不准确的。

        数    伦

        巴比伦人不仅在代数中的工作显得很出色，在算术中，也不断推进研究范围。在《楔形文字的数学书》中，记载了很多关于初等数论的内容。希腊的毕达歌拉斯学派继承和发展了他们的工作。

        巴比伦人能够求出简单的级数和，例如可求出公比为2的等比级数的和：

        1 + 2 + 4 + ……+ 2⁹ = 2⁹ + (2⁹－1) = 2¹⁰－1

        求出从1到10的整数的平方和,用了如下公式:

三、巴比伦数学的应用及对数学发展的贡献

1、巴比伦人对数学的应用

巴比伦人对数学的应用

巴比伦人首先把数学应用到商业。巴比伦位于古代贸易的通道上，适于商品交

换，发展经济。他们用简单的算术和代数知识表示长度和重量，兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额以及分配粮食、划分土地和遗产。

        把数学应用到兴修水利上。巴比伦人应用数学知识计算挖运河、修堤坝所需人数和工作日数。把数学应用到测定谷仓和房屋的容积，修筑时所需用的砖数等。

        把数学应用于天文研究。在亚述时代（公元前700年左右）开始用数学解决的天文学的数学问题，在公元前3世纪之后，用数学知识来计算月球和行星的运动，并通过记录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀时间。

2、巴比伦人对数学发展的贡献

巴比伦人对数学发展的贡献

巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解决实际

问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明。但，也要充分估计他们对数学所做出的贡献。

        ⑴ 巴比伦人能够解一元一次方程和一元二、三次方程，解决的类型可归纳如下：

        在实际问题中，也能通过算术的方法解二元一次方程组。例如：

        ⑵ 在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和毕达歌拉斯定理。会求简单几何图形的面积和体积，并建立了在特定情况下的底面是正方形的棱台体积公式：

        ⑶ 在记数法上，有了位值制的观念，但似乎没有表示零的方法。

        ⑷ 在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现许多准确性很高的天文学周期。但这种工作还缺乏一定的科学性。

        总之，巴比伦人对数学各领域都有一定的贡献。但在对圆面积的度量上比不上埃及，他们常取 π= 3。尤其在产生数学各种基本概念的同时，假科学也得到了发展，如宣扬星相术和数的神秘论，阻碍了数学的发展。