-->
Site hosted by Angelfire.com: Build your free website today!

Short course in elementary logic – fragment

Adam Roman (June 2001)


"Then I perceived that wisdom is more profitable than folly, as light is more profitable than darkness."
Ecclesiastes 2, 13

The road to truth is neither straight, nor easy. It begins with observations and experiments, which furnish the raw material to be processed further. The material consists of facts and those – contrary to crude oil or iron ore – are being processed by human brain. How to treat the facts to arrive at new knowledge, that is what people had been learning tens thousands of years of evolution of thinking. Just quite recently (in antiquity) they discovered that there are certain rules for handling true knowledges which enable to arrive at other true pieces of knowledge, or at least to avoid deriving true conclusions from false premises, or even the worse, to draw false conclusions from true premises. Those rules had been discovered by Greek thinkers and were named by them as logic.

Musím hneď tu na začiatku zdôrazniť, že používanie logiky je iba nutným predpokladom, aby sme sa k novým poznatkom mohli dopracovať, ale logika zďaleka na odhalenie pravdy nestačí. Vytvoriť napríklad novú fyzikálnu teóriu je niečo, čo si bežný človek nevie ani len predstaviť. Vyžaduje si to vymyslieť predpoklady, ktoré spočiatku vyzerajú nepredstaviteľne a absurdne, a z nich odvodiť overiteľné predpovede. Preto mi pripadá veľmi pôvabné, ako farári teatrálne žasnú nad božou múdrosťou (lebo tej rozumie každý), ale kvantová mechanika, či teória relativity, ich už tak nevzrušuje (lebo ani nevedia, čo to je).

Logika je čosi ako nástroj, ktorý ľudia používajú, keď správne premýšľajú. Logika je v istom zmysle aj veda aj umenie. Ako veda je to metóda s prísnymi pravidlami, ako umenie sa opiera o isté ľudské schopnosti, či zručnosti. Tak ako sa každý rodí s iným vzťahom k hudbe, tak sa každý rodí s iným vzťahom k logickému mysleniu. Sú takí, ktorých logike učiť netreba. Tí nemusia v čítaní ani pokračovať. Sú však aj takí, ktorých ani najpodrobnejší kurz nič nenaučí. Ani tým nie sú určené nasledujúce riadky. Obraciam sa len na tých, ktorí už logicky aspoň trochu vedia myslieť, a potrebujú sa v tejto schopnosti zdokonaliť. Štúdium logiky totiž predpokladá určité rudimentárne logické schopnosti, ktoré sa dajú zlepšiť, ba doviesť až do majstrovstva. Tým, ktorí o to majú záujem, sľubujem, že sa v tomto krátkom príspevku naučia prekvapujúco veľa, hlavne ak budú podrobne analyzovať uvádzané príklady a občas si pocvičia svoj ostrovtip na úlohách uvedených bez riešenia v Cvičeniach.

Neviem nijako pochopiť, že pravidlám správneho myslenia sa na školách venuje pramálo pozornosti, akoby práve toto nemalo byť hlavným cieľom výchovy. Niet sa potom čo diviť, že väčšina populácie rozmýšľa nie rozumom, ale emóciami (kresťania tomu hovoria "srdcom"; Aristoteles dokonca úplne vážne tvrdil, že človek myslí bruchom a že mozog má na ochladzovanie krve). Aj v každodennom živote sa totiž musíme brániť pokusom, ktorými mnohí ľudia chcú ovplyvniť naše názory, konanie a emócie. Často ich k tomu vedie snaha po ich vlastnom prospechu. Na tieto ciele málokedy používajú logiku; väčšinou heslá, vágne zovšeobecnenia, otrepané porekadlá, apelujú na naše zvyky a stereotypy. Logické schopnosti by nás pred nimi mohlo uchrániť, rovnako ako pred vplyvom reklám v oznamovacích prostriedkoch, skreslenými správami, a nerealistickými sľubmi politikov.

Ak sa máme pred všetkými tými útokmi na našu dôverčivosť ubrániť, máme veriť len na základe dôkazov, robiť iba to, pre čo máme dobré dôvody, a naše pocity a postoje majú byť v zhode s hodnotami, ktoré hlboko uznávame a s pocitom zdravého sebavedomia.

Začneme elementárnou terminológiou. Argument, predpoklad (premisa), záver.

Chybné argumenty

Argumentom nazývame postup od predpokladov (premís) k záverom. Dobrý argument má z pravdivých predpokladov priviesť k pravdivým záverom. Z nepravdivých premís sa dajú odvodiť aj správne aj nesprávne závery, preto sa logika argumentovaním z nesprávnych predpokladov nezaoberá. Ale môže sa stať aj to, že z pravdivých predpokladov dospejeme k nepravdivým záverom, a vtedy sme neuvažovali správne. Také postupy sa nazývajú chybné a je dobré si o nich niečo povedať, aby sme ich mohli identifikovať ako príčiny neúspechu pri uvažovaní.

Argumenty sa analyzovali už od staroveku a majú preto latinské názvy. Ale to, že o nich potrebujeme hovoriť aj dnes dokazuje, že správne logické myslenie nie je človeku vrodené, človek sa ho musí učiť. Niekto samozrejme viac, niekto menej. Je preto naozaj smutné, že sa umenie uvažovať v školách neučí: žiaci sa s ním stretávajú len tak mimochodom v matematike.

Chyby spôsobené nejednoznačnosťou

Moc korumpuje. Poznanie je moc. Preto poznanie korumpuje.

Nikto neprijme radu, ale každý prijme peniaze. Preto peniaze sú lepšie než rada (J. Swift).

Post hoc ergo propter hoc

Argumentum ad hominem

A dospeli sme k najhúževnatejšiemu chybnému argumentu, ktorý sa používa hojne dodnes. Ako uvidíme, občas sa pozabudne aj niektorý nositeľ Nobelovej ceny a použije ho. Podstatou tohoto argumentu je psychologická asociácia tvrdenia s tým, kto toto tvrdenie hovorí. Ak sa nám človek (homo) nepáči, a nepáčia sa nám ani niektoré jeho názory, z nepekných vlastností tohoto človeka urobíme dôvod pre nesprávnosť jeho názorov. A naopak, ak niekoho považujeme za autoritu v nejakej oblasti, veľmi ochotne prijmeme jeho názory aj v oblasti, o ktorej ten dobrý človek v podstate nič nevie. Tomu sa niekedy hovorí argument z autority a používal sa počas celého stredoveku scholastikmi, ktorí považovali za vrcholnú autoritu Aristotela aj vo veciach, v ktorých sa tento starý Grék vyjadroval len celkom neurčite a náhodou.

Argumentum ad hominem s obľubou používajú teológovia a od nich sa to naučili aj veriaci a preto sa mu musíme venovať trochu podrobnejšie. Vypočujte si nejakú kázeň, v ktorej sa použijú najmenej dva argumenty a ja sa stavím, že jeden bude ad hominem. Teológovia považujú, samozrejme, za najväčšiu autoritu boha (deus) a jemu veria. V takom prípade by sa argument mal nazývať argumentum ad deum.

Chybné manipulácie s implikáciou

Prechádzame teraz k najvážnejším logickým chybám, ktoré sa týkajú implikácií, a ktoré patria medzi najčastejšie logické chyby. Dôvody pre taký častý výskyt sú tu dvojaké: implikácie sa na jednej strane veľmi často používajú, a na druhej strane narábanie s nimi nie je pre väčšinu ľudí jasné. Dokonca aj vedci, keď hovoria o viere, porušujú práve pravidlá pre manipuláciu s implikáciami.

Začnime príkladom implikácie: "Ak nebude pršať, pôjdem sa prejsť". Tento bežný výrok hovorí, že jestvuje akýsi predpoklad, a že bez ohľadu na to, či je, alebo nie je pravdivý, čosi z neho vyplýva (náplňou logiky nie je overovať si pravdivosť predopokladov, to je našou úlohou – úlohou logiky je iba vyjadrovať sa k platnosti, či neplatnosti manipulácií s výrokmi). Pretože formálny zápis implikácie nie je ťažký, ale je veľmi názorný, budem ho používať v tvare A => B, čo budeme čítať ako "A implikuje B", alebo po slovensky "z A vyplýva B". A sa v logike označuje ako predpoklad, B ako dôsledok. V našom príklade A = "nebude pršať", B = "pôjdem sa prejsť". Dúfam, že zatiaľ je všetko jasné.

Problémy s implikáciami vzniknú vtedy, keď ich chceme nejak "obrátiť". Skúsme sa pozrieť na to, či z A => B vyplýva B => A. Jednoduchý príklad nám ukáže, že takto implikáciu nemožno obrátiť. Je jasné, že ak sa Jano utopil (A), je mŕtvy (B). Ale ak o Janovi vieme iba to, že je mŕtvy, nevyplýva z toho nutne, že sa utopil. Mohol umrieť mnohými inými spôsobmi. Uvedené obrátenie implikácie predstavuje logickú chybu, ktorá sa nazýva potvrdením dôsledku. Treba tu zdôrazniť, že nesprávny je celý úsudok, nie jeho závery. Tie môžu byť "náhodou" aj správne, ale ich pravdivosť nie je dôsledkom toho úsudku.

Uveďme ešte iný "nábožensky neutrálny" príklad. Z toho, že voda pri mrznutí zväčšuje objem (A) vyplýva, že fľaša naplnená vodou sa za mrazu môže roztrhnúť (B). Ale túto implikáciu nemožno obrátiť tak, aby tvrdila, že keď nájdem rozbitú fľašu, roztrhol ju mráz. Mohla niekomu vypadnúť z ruky.

V otázkach viery a morálky sa často (neprávom) tvrdí, že neveriaci sú zlí, zvrhlí. Tu je predpokladom A tvrdenie, že niekto je neveriaci a dôsledkom B, že je zlý. Z toho sa potom občas robí "obrátený" záver, že ten kto je zlý a zvrhlý, je neveriaci. A to je logicky chybný úsudok. Zlý a zvrhlý môže byť nielen nacistický vrah, ale aj katolícky pápež. Dejiny cirkve poznajú mnoho takých príkladov. Časté volania farárov, že bez viery by sa z ľudí stali zvery, sú výsledkom logickej chyby potvrdzovania dôsledku. Dejiny inkvizície výrečne ukazujú, akými zvermi dokázali byť hlboko veriaci ľudia.

Iných chýb sa ľudia dopúšťajú, keď chcú "obrátiť" implikácie ich popretím. Popretie tvrdenia sa nazýva negáciou a negáciu tvrdenia A budeme označovať non-A. Logicky chybné popretie implikácie A => B má tvar non-A => non-B. Chybnosť takej nedovolenej manipulácie najlepšie ukáže príklad. Ak by Einsteina upálili (A), bol by mŕtvy (B). Myslím, že každému je zrejmé, že túto implikáciu nemožno negovať (obrátiť) práve uvedeným spôsobom, lebo by sme dostali absurdné tvrdenie: Keďže Einsteina neupálili (non-A), Einstein ešte stále žije (non-B). Upálenie nie je jedinou príčinou smrti. Na takom príklade je logická chyba úplne zrejmá, ale ľudia sa jej neustále dopúšťajú. Táto chyba sa nazýva potvrdením predpokladu, na rozdiel od predchádzajúceho potvrdenia dôsledku. Aj tu treba zdôrazniť, že nesprávny je celý úsudok, nie jeho závery. Tie môžu byť "náhodou" aj správne, ibaže nie sú dôsledkom tohoto úsudku.

Neutrálny príklad každý bez váhania akceptuje. Z toho, že ničivé zemetrasenie spôsobuje pád budov ešte nevyplýva, že tam, kde sto rokov nebolo zemetrasenie, nemohla spadnúť žiadna budova. Mohla spadnúť v dôsledku výbuchu bomby. Prečo však už tú istú logickú chybu nevidia aj veľmi vzdelaní ľudia, keď ide o otázky viery a morálky?

Tvrdia totiž, že kresťanská viera (A) vedie k morálnosti (B). Možno, ja neviem. Ale aj keby viedla, nedá sa toto tvrdenie (A => B) obrátiť tak, že bez kresťanskej viery by nebola možná morálka (non-A => non-B). Dobré známe sú prípady vysoko morálnych a ušľachtilých ateistov (Bertrand Russell, Louis Pasteur, Albert Einstein, Francis Crick – zoznam doplňte vám známymi príkladmi: hádam len nejaké nájdete). Keď tento výsledok spojíme s predchádzajúcim, kde sa potvrdzoval dôsledok, dostaneme trocha všeobecnejšie tvrdenie, že medzi vierou a morálkou nie je vôbec žiaden kauzálny vzťah. Ale potom všetky reči o spásonosnom účinku viery (samozrejme tej našej, kresťanskej, a najlepšie katolíckej) sa míňajú účinkom. Veriaci môžu byť rovnako morálni ako amorálni, a rovnako aj neveriaci. A tým je vyvrátený politický argument cirkve, prečo treba mládež vychovávať v kresťanskom duchu, prečo nutne potrebujeme cirkevné školy, akú nezastupiteľnú úlohu plní cirkev v spoločnosti, ako by sa celá spoločnosť bez cirkvi rozpadla. Neviem o tom, že by v Japonsku prekvitalo kresťanstvo, ani že by tam bol nadbytok katolíckych škôl a rovnako neviem o tom, že by sa tamojšia spoločnosť v najbližšej doba chystala rozpadnúť. Japonsko je príklad nekatolíckej krajiny, kde sa nedeje sodoma-gomora. V "tradične katolíckom" Taliansku som však čosi počul o mafii, drogách i dobre organizovanej prostitúcii.

Ako sa teda implikácia má logicky správne obrátiť? Takto: non-B => non-A. Pozrite si predchádzajúce príklady a skontrolujte výsledky: ak Jano nie je mŕtvy, neutopil sa; ak je fľaša celá, nemohla prasknúť od mrazu; ak je niekto morálny, môže byť veriaci; ak by Einstein dnes ešte žil, nemohli ho pred rokmi upáliť, ak sa dom nezrútil, nemohol podľahnúť zemetraseniu, no a nakoniec ak je človek amorálny, asi nie je veriaci. Je to jasné? Pokiaľ ide o posledný príklad, veriaci sa dopúšťajú ešte ďalšej chyby: zapierajú nos medzi očami tvrdiac, že aj veľmi nemravný človek môže byť veriaci. Ja to vylučujem z definície, ale o tom niekde inde.

Ak platia obe implikácie A => B aj B => A, hovoríme, že medzi A a B jestvuje ekvivalencia, ktorú označujeme A <=> B. Ekvivalencia znamená, že výroky A a B sú buď súčasne pravdivé, alebo súčasne nepravdivé. Je jasné, že ekvivalencia sa dá "obracať" ako len chceme, pretože jej podstatou je tvrdenie, že pôvodné i "obrátené" tvrdenie sú logicky rovnaké. Spomínané logické chyby sú práve dôsledkom toho, že ľudia si často zamieňajú implikáciu s ekvivalenciou a preto implikáciu bezstarostne "obracajú" ako horúci zemiak, akoby išlo o ekvivalenciu. Jeden príklad ekvivalencie bude dúfam stačiť: "každé párne číslo je deliteľné dvomi", pretože len tie čísla považujeme za párne, ktoré sú deliteľné dvomi. Ak je teda číslo deliteľné dvomi, je párne.

Skončím dobrou radou. Neobracajte implikácie bezstarostne! Skúste najprv, či sa z implikácie nedá urobiť ekvivalencia – s touto môžete robiť, čo len chcete. Dobrým testom, či implikácia nie je ekvivalenciou, je overiť si, či sa implikácia dá vyjadriť vo forme "B platí vtedy a len vtedy, ak platí A". Alebo ešte ináč, overte si, či A je jediná podmienka, ktorá vedie k B. Vtedy je všetko v poriadku, pretože tvrdiť, že niečo platí, znamená, že to platí vždy. Ale tvrdiť, že niečo neplatí, neznamená, že to nikdy neplatí, znamená to len to, že to neplatí vždy! A to nás vedie k ďalšej logickej téme.

Kategorické tvrdenia a ich negácia

Tvrdenia o izolovaných faktoch nie sú až také zaujímavé, ako tvrdenia o všetkých prvkoch nejakej množiny. Tvrdenie, že Bill Cosby je černoch, čosi hovorí, ale oveľa zaujímavejšie je tvrdenie, že ani jeden černoch nedostal zatiaľ Nobelovu cenu za fyziku. Tvrdenia o všetkých prvkoch dobre definovanej množiny sa nazývajú kategorické.

Kategorické tvrdenie môže byť pozitívne, alebo negatívne. Negatívne dostaneme negáciou pozitívneho. Kategorické tvrdenia vykazujú pri dôkaze zaujímavú asymetriu. Ak chceme dokázať, že čosi platí pre všetky prvky nejakej množiny, je to úloha dosť náročná. Ale ak chceme dokázať, že nie je pravda, že to platí pre všetky prvky, stačí ukázať jeden príklad (nazývaný niekedy "kontrapríklad"), pre ktorý to neplatí, práve preto, že ak taký príklad jestvuje, nemôžeme už tvrdiť, že uvedené tvrdenie platí pre všetky prípady. Je teda oveľa ľahšie dokázať negatívne než pozitívne kategorické tvrdenie.

Protirečenia a rozpory

V súvislosti s polemikou o viere sa často hovorí o protirečeniach. Diskutujúci sa pritom občas rozpália do biela, ale zabúdajú na pár triviálnych vecí. Ak chceme porovnávať z hľadiska pravdivosti dve tvrdenia (a pri zisťovaní protirečení nerobíme nič iné), musíme predovšetkým hovoriť o tej istej veci – musíme teda túto vec presne definovať – a musíme mať možnosť zistiť, či sú obe tvrdenia pravdivé alebo nie. Protirečenie, či rozpor totiž označuje taký stav, keď jedna strana o jednej a tej istej veci hovorí pravdu a druhá nepravdu.

Práve z týchto dvoch dôvodov spory medzi veriacimi a neveriacimi, aj keď sú veľmi vášnivé, bývajú väčšinou jalové. Veriaci obvykle svoje pojmy nedefinujú spôsobom akceptovaleľným obomi stranami a neveriaci potom nevedia o čom je reč. Neveriaci sú obvykle prístupní dôkazom, ale veriaci sa odvolávajú len na svoju vieru a preto o dôkazoch hovoriť nechcú. Diskusia preto čoskoro opúšťa pole logiky a stáva sa z nej boj emócií.

Pokúsim sa situáciu trochu ozrejmiť na príklade rozporu medzi vedou a vierou. Dokázať, že medzi vedou a vierou niet rozporu, je ťažké. Nestačí porovnať jedno tvrdenie vedy s jedným tvrdením viery. Museli by sme porovnať všetky tvrdenia vedy so všetkými tvrdeniami viery. Keď si však uvedomíme, že tvrdenie o neprítomnosti rozporu je kategorické, vidíme, že na dôkaz jeho nepravdivosti stačí jediný príklad rozporu. Keďže rozpor medzi vedou a vierou deklarujú neveriaci, je na nich vykonať tento podstatne ľahší dôkaz.

Úloha neveriacich sa v tomto prípade zredukuje na dosť ľahký cieľ: dokázať, že aspoň jedno tvrdenie vedy je v nezmieriteľnom rozpore s aspoň jedným tvrdením viery. Ak sa im podarí dokázať taký rozpor pre viacero tvrdení, tým lepšie.

Lenže neveriaci taký dôkaz nepredkladajú na posúdenie neveriacim, ale veriacim. Tí potom musia preukázať ochotu – ak sú naozaj ochotní diskutovať – prijať pravidlá logiky a neodvolávať sa neustále na svoju vieru a "písmo". Myslím si, že práve na tejto neochote stroskotáva vždy celý dialóg.

Tým, že veriaci odmietajú na pravdy viery aplikovať logické kritériá, znemožňujú neveriacim presvedčiť ich, že medzi vedou a vierou je rozpor. Hlavným rozporom sa teda ukazuje byť rozpor metodologický: veda považuje za pravdivé len exaktne dokázané tvrdenia, viera nepovažuje pre "pravdivosť" svojich tvrdení dôkaz za potrebný. Myslím, že toto je kardinálny rozpor medzi vedou a vierou, všetko ostatné je už podružné a od toho závislé.

Ak by tejto neochoty veriacich nebolo, bolo by hračkou dokázať bárskoľko protirečení medzi vedou a vierou. Zoberme si len jeden príklad: porovnajme tvrdenie "Kristus nemohol po smrti ožiť, lebo to odporuje všetkému, čo biológia vie o živote a smrti" s tvrdením, že "Kristus vstal zmŕtvych, lebo je to napísané v Písme". Tieto tvrdenia sú samozrejme v rozpore. Mohli by sme tvrdiť, že ten rozpor je spôsobený len tým, že sa tu dopúšťam nedovoleného porovnávania podľa rôznych kritérií: v prvom prípade posudzujem pravdivosť podľa vedy (biológie), v druhom podľa viery, a to by som nemal. Pokúsim sa preto obe tvrdenia posudzovať podľa vedy. Lenže z hľadiska vedy nemôže byť druhé tvrdenie pravdivé, takže opäť dostávam rozpor. Ak by som, naopak, obe tvrdenia posudzoval podľa viery, potom na biológiu treba aplikovať "písmo", čo by viedlo k tomu, že by tu vznikol opäť rozpor, lebo by to znamenalo, že biológia je podľa "písma" nepravdivá, lebo tvrdí, že nejestvuje ani jediná bytosť, ktorá by mohla po smrti ožiť. Či máme učebnice biológie doplniť o vety, ktoré by pospomínali všetky zázraky, ktoré dnes cirkev uznáva, ako výnimky, pre ktoré zákony biológie neplatia?

Uveďme ešte príklad z fyziky. ...

Zdá sa mi, že každý pokus porovnať tvrdenia vedy a náboženstva vedie k rozporu a že z toho niet úniku práve pre základný metodologický rozpor, ktorý medzi vedou a vierou jestvuje. Keďže tento rozpor je koreňom všetkých ostatných, a uznať ho musí každý, je jasné, že medzi vedou a náboženstvom jestvuje neprekonateľný rozpor, spočívajúci práve v tom, že náboženstvo sa opiera iba o vieru, a veda iba o dokázanú pravdu. Dá sa ukázať, že tento rozpor má koreň už v definícii vedy a viery a preto sa nikdy neodstráni, lenže o tom budem hovoriť inde.

Keywords: logic, science, truth, argument, fallacy, reasoning, implication, equivalence, negation, contradiction



Criticism, polemics, views, suggestions etc. are expected at the address: nebojsa@consultant.com

Home

Visits:

(since 15. 11. 2001)