DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para los administradores.

 

Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli, quien vivió en el siglo XVII.

 

Empleo del proceso de Bernoulli.

 

Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:

 

1. Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.

3. Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

 

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Pongamos el caso en que siete décimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad característica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados permaneció constante con el tiempo.

 

Des de luego, la otra característica del proceso de Bernoulli también deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.

 

En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r y para simbolizar el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.

 

Entonces tenemos que :

 

P	Probabilidad de éxito.
Q	Probabilidad de fracaso.
r	Número de éxitos deseados.
n	Número de ensayos efectuados.

 

Existe una fórmula binomial:

 

Probabilidad de r éxitos en n  ensayos es :

 N! / R! (N-R)! P^R Q^N-R

 

Recordemos que el símbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemáticos definen 0! = 1.

 

La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica,

 

imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde :

 

P= 0.4

Q= 0.6

N= 5

 

Realicemos el cálculo de cada valor de R:

 

Para R= 0 obtenemos que :

 

P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )⁰ (0.6)⁵

 

P(0) = 0.07776

 

Para R= 1 obtenemos que :

P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )¹ (0.6)⁴

 

P(1) = 0.2592

 

Para R=2 obtenemos que:

 

P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )² (0.6)³

 

P(2) = 0.3456

 

Para R= 3 obtenemos que :

P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )³ (0.6)²

 

P(3) = 0.2304

 

 

Para R= 4 obtenemos que :

P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )⁴ (0.6)¹

 

P(4) = 0.0768

 

 

Para R= 5 obtenemos que :

P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )⁵ (0.6)⁰

 

P(5) = 0.01024

 

Representando estos resultados en una gráfica:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial.

 

La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( m ) y una desviación estándar ( s ) y deberemos ser capaces de calcular esas dos medidas estadísticas.

 

Podemos representar la media de una distribución binomial de la siguiente forma:

 

 

m = n p

 

donde :

n= número de ensayos.

P= probabilidad de éxitos.

 

Y la desviación de la siguiente forma:

 s = Ö npq

 

donde :

n= número de ensayos.

P= probabilidad de éxito.

Q= probabilidad de fracaso.

 

Ejemplo:

 

Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue:

m = np

 

= 10*0.2

= 2 Media

 

s = Ö npq

 

=  Ö (10) (0.2) (0.8)

= Ö 1.6

= 1.265 Desviación estándar

 

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

·         En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).

·         El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

·         La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A   es  1- p  y la representamos por  q .

·         El experimento consta de un número  n  de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable  X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).

La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo  n  y  p  los parámetros de dicha distribución.

Función de Probabilidad de la v.a. Binomial

Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose:  0 £  p £ 1

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.

Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial

Parámetros de la Distribución Binomial

Función de Distribución de la v.a. Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a x_i.

Esta función de distribución proporciona, para cada número real x_i, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x_i.

El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se  han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad  p(X=1).

Ejemplo 2

La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

Ejemplo 3

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.

Solución :