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Lógica Matemática

 

 

Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados antes.
Exemplo:
    a) a lua é um satélite da Terra;
    b) P = PRT;
    c) Brasília é a capital do Brasil.
Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, na  Lógica Matemática
Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, esto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Valores Lógicos das Proposições - chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Valor Lógico

Símbolo de Designação

Verdade

V

Falsidade

F

Toda proposição tem um e um só dos valores V , F ( de acordo os dois princípios supracitados).
Exemplo:
    a) o mercúrio é mais pesado que a água;  valor lógico da proposição : verdade (V)
    b) o sol gira em torno da Terra;   valor lógico da proposição : falsidade (F)
Tipos de Proposição
Simples ou Atômicos - é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais.
Exemplo:
    p : Oscar é prudente;
    q : Mário é engenheiro;
    r : Maria é morena.
Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais.
Exemplo:
    p : Walter é engenheiro
E Pedro é estudante;
    q : Mauro é dedicado
OU Pedro é trabalhador;
    r :
SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.
Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.
Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, escreve-se:  P (  p, q, r ...);
Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se usam para formar novas proposições a partir de outras.
Exemplo:
    P : 6 é par
E 8 é cubo perfeito;
    Q :
NÃO vai chover;
    R :
SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia;
    S : o triângulo ABC é isósceles
OU equilátero;
    T : o triângulo ABC é equilátero
SE E SOMENTE SE é equilátero.
Tabela Verdade
Proposição simples - pelo princípio do terceiro excluído é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).
Proposição composta - é a determinação do valor lógico.
Proposições  simples componentes, se faz com base no seguinte princípio:

p

V

F

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles unicamente determinados.
Dispositivo
Prático para determinação do valor lógico de uma proposição composta - TABELA VERDADE
Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.
Exemplos:
Proposição Composta - 02 proposições simples

 

p

q

1

V

V

2

V

F

3

F

V

4

F

F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dos para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.
Proposição Composta - 03 proposições simples

 

p

q

r

1

V

V

V

2

V

V

F

3

V

F

V

4

V

F

F

5

F

V

V

6

F

V

F

7

F

F

V

8

F

F

F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.
Notação - o valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.
Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.
Exemplos:
    p : o sol é verde;
    q : um hexágono tem nove diagonais;
    r : 2 é raiz da equação  x + 3x - 4 = 0
    V(p) = F
    V(q) = V
    V(r) = F
Operações Lógicas Fundamentais
Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. As operações lógicas obedecem regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional.
Negação - chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por "não p", cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falso e a falsidade quando p é verdadeiro.
Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p.
Simbologia - simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se lê "não p".
Tabela Verdade da Negação

p

~ p

V

F

F

V

~ V = F             ~ F = V
V (~ p) = ~ V(p)     -     O valor lógico da negação de p é igual à negação do valo lógico de p.
Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples, antepondo o advérbio "não" ao verbo da proposição dada.
Exemplo:
    p : o sol é uma estrela
    ~p : o sol não é uma estrela
Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada.
Exemplo:
    q : Carlos é engenheiro
    ~q : é falso que Carlos é engenheiro;
    ~q : não é verdade que Carlos é engenheiro.
Conjunção
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p

q

p ^q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Disjunção
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo o valor lógico é a verdade (V)  quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

p

q

p V q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Disjunção Exclusiva
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou que é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas.

p

q

p V q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Condicional
Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por "se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos.

p

q

p -> q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Bicondicional
Chama-se proposição Bicondicional ou apenas Bicondicional uma proposição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

p

q

p <-> q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

 
Construção de Tabelas - Verdade
Tabela Verdade de uma Proposição Composta
Dada várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos:

Negação

~

Conjunção

^

Disjunção

V

Condicional

-- >

Bicondicional

<-- >

e construir proposições compostas, tais como:
P(p,q)  =  ~p V (p->q)
Q(p,q) =  (p<-> ~ q) ^q
R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r))
Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fundamentais é possível construir a tabela verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.
Números de Linhas de uma Tabela Verdade
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
A tabela-verdade de uma proposição composta com proposições simples componentes contém 2 elevado a n linhas.
Exemplo
Construir a tabela-verdade  da proposição:  P(p,q) =  ~ (p ^  ~ q)

p

q

~ q

p ^ ~ q

~ (p ^ ~ q)

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

 
Tautologias, Contradições e Contigências
1 - Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira).
Exemplos:
a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p

~ p

p ^ ~ p

~ (p ^ ~ q)

V

F

F

V

F

V

F

V

b - A proposição "p V ~ p" (Princípio do terceiro excluído) é uma tautologia.

p

~ p

p V ~ p

V

F

V

F

V

V

2 - Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade).
Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p,q,r,...) cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.

p

~ p

p ^ ~ p

V

F

F

F

V

F

 

p

~ p

p <-> ~ p

V

F

F

F

V

F

3 - Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

p

~ p

p -> ~ p

V

F

F

F

V

V

 
Implicação Lógica
1 - Definição de Implicação Lógica
Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...)  é verdadeira (V).
P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...)
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.
2 - Propriedades da Implicação Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), esto é, simbolicamente.

(R)

P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...)

(T)

Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e

 

Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então

 

P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...)

Exemplo

p

q

p <-> q

(p <-> q) ^ p

(p <-> q) ^ p -> q

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q
 
Álgebra das Proposições
1 - Propriedade da Conjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujo valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade).
a - Idempotente :  p ^ p <=> p
b - Comutativa:  p ^ q <=> q ^ p
c - Associativa:  (p ^ q) ^ r  <=>  p ^ (q ^ r)
d - Identidade:  p ^ t <=> p   e   p ^ c <=> c

2 - Propriedade da Disjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade).
a - Idempotente :  p V p <=> p
b - Comutativa:  p V q <=> q V p
c - Associativa:  (p V q) V r  <=>  p V (q V r)
d - Identidade:  p V t <=> p   e   p V c <=> c
3 - Propriedade da Conjunção e da Disjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
a - Distributivas:
     (i)  p ^ (q V r) <=> (p ^ q) V (p ^ r)
     (ii)  p V (q ^ r) <=> (p V q) ^ (p V r)
b - Absorção:
     (i)  p ^ (q V q) <=> p
     (ii)  p V (q ^ q) <=> p
c - Regras de DE MORGAN:
     (i)  ~ (p ^ q) <=> ~ p V ~ q
     (ii)  ~ (p V q) <=> ~ p ^ ~ q
4 - Negação da Bicondicional
Como p <-> q <=> (p -> q) ^ (q -> p), temos:
p <-> q <=> (~ p V q) ^ (~ q V p) e portanto:
~ (p <-> q) <=> ~ (p V q) V ~ (~ q V p)
~ (p <-> q) <=> (~ ~ p ^ ~ q) V (~ ~ q ^ ~ p)
 
Postulados
Como toda teoria matemática, um conjunto de afirmações (postulados) é aceito sem a necessidade de demonstração. Tais postulados estabelecem os fundamentos da Álgebra de Boole, determinam os seus limites, definem as operações e fornecem a sustentação para a demonstração de teoremas.
Quaisquer que sejam X, Y ou Z pertencentes ao conjunto S, considere os seguintes postulados:
P1. Associatividade das operações E e OU.
        a)  ( X+Y ) + Z = X + ( Y + Z )
        b)  ( X .Y ) . Z = X . ( Y . Z )
P2. Comutatividade das operações E e OU.
        a)  X + Y = Y + X
        b)  X . Y = Y . X
 
. Elemento unitário para a operação OU - Dizemos que um elemento pertencente a S é unitário numa dada operação quando o seu relacionamento, através dessa operação, com um elemento X qualquer pertencente a S, resulta no próprio elemento X.
P4. Elemento unitário para a operação E.
        O unitário da operação E é o dígito 1, ou seja:
            1 . X = X
P5. Distribuitividade de E sobre a operação OU.
            X + ( Y + Z ) = ( X   . Y ) + ( X . Z )
P6. Distribuitividade de OU sobre a operação E.
            X + ( Y . Z ) = ( X   + Y ) . ( X + Z )
P7. Existência de um elemento completo.
        Qualquer que seja X, existe X barrado. também pertencente a S, denominado complemento de X, tal que:
        X . X barrado = 0         e          X + X barrado = 1
Os cinco primeiros postulados possuem equivalentes na álgebra tradicional. Os postulados P6 e P7 são exclusivos da Álgebra de Boole e, por isso, responsáveis pelo estabelecimento das diferenças entre as duas álgebras.
As regras de prioridade usadas na álgebra tradicional para parênteses, colchetes e chaves são válidas na Álgebra de Boole. E mais, a operação E tem prioridade sobre a operação OU.
Lei da Dualidade
Se substituirmos numa expressão lógica o símbolo da operação OU pelo da operação E (e vice-versa), substituirmos o dígito 0 por 1 (e vice-versa), então obteremos uma nova expressão, também verdadeira, denominada DUAL da expressão original.
    0 + X  =  X     
DUAL:  1 . X  =  X
    ( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z )    
DUAL:  ( X . Y ) . Z = X . ( Y . Z )
Teoremas Fundamentais
A lei da dualidade pode ser aplicada nos teoremas demonstrados para a obtenção de novos teoremas.
Quaisquer que sejam X e Y pertencentes a S, podemos afirmar:
T1. Teorema dos elementos nulos.
        A soma de um elemento X qualquer com 1 é igual a 1. Ou seja,  X + 1 = 1
T2. Dual do teorema dos elementos nulos.
        O produto de X por 0 é igual a 0. Ou seja,    X . 0 = 0
T3. Teorema da Idempotência (parte a).
        A soma de um elemento X qualquer com ele mesmo é igual a X. Ou seja,   X + X = X
T4. Teorema da Idempotência (parte b).
        O produto de um elemento X qualquer, pertencente a S, por ele mesmo é igual a X. Ou seja,   X . X = X
T5. Teorema da Convolução.
        O complemento do complemento de um elemento X é igual ao próprio elemento X. Ou seja,   
T6. Teorema de De Morgan.
Este teorema possui dual partes:
1 - O complemento de uma soma de elementos é igual ao produto dos seus complementos, ou seja:
2 - O complemento de um produto de elementos é igual à soma dos seus complementos, ou seja:
Aplicação do teorema de De Morgan na expressão algébrica:
Inicialmente podemos aplicar o teorema duas vezes: uma devido à barra superior e outra devido à barra inferior. A ordem de aplicação não afeta o resultado final, apenas pode determinar um caminho mais rápido até o final. Aplicando De Morgan em função do complemento superior temos:
Aplicando mais uma vez o teorema de De Morgan, temos:
wpe5.jpg (1833 bytes)
Se usarmos o teorema 5 e eliminarmos os parênteses desnecessários na expressão anterior, obteremos:
wpe6.jpg (1330 bytes)
Quando dois elementos quaisquer de S ( A e B ) se relacionam através da operação E, é tolerável a omissão do símbolo de operação, ou seja, AB no lugar de A . B. Em nenhuma situação é permitida a omissão do símbolo +.
Funções Booleanas
O conceito de função booleana é o mesmo da álgebra tradicional, onde uma expressão algébrica assume um valor para cada combinação de valores assumidos pelas suas variáveis. Desta forma, qualquer expressão algébrica pode ser considerada como uma função booleana.

wpe1.jpg (3698 bytes)
Tabelas de Combinações
wpe2.jpg (16575 bytes)
Para a obtenção de sua tabela de combinação devemos executar os seguintes passos:
1 - Criação de colunas das variáveis - Nestas colunas - uma para cada variável da função - são listadas todas as combinações possíveis de zeros e uns das variáveis. A variável considerada como a mais significativa deve ser colocada na coluna à esquerda.
2 - Criação de colunas intermediárias - Tais colunas se referem a produtos, somas e complementos contidos na expressão booleana. O número de tais colunas depende da complexidade da expressão e da experiência do estudante.
3 - Preenchimento das colunas intermediárias - Isso é feito pela aplicação dos teoremas e postulados na expressão algébrica de cada coluna.
4 - Obtenção da função - Isto é feito pelo preenchimento da coluna, referente à função, através da aplicação dos teoremas e postulados aos valores nas colunas criadas visando a expressão final da função.
Portas Lógicas
É um circuito implementado com componentes semicondutores, com um ou mais terminais para entrada de dados ( onde são colocadas as variáveis booleanas) e uma saída que executa uma específica operação booleana entre as variáveis presentes nas suas entradas. Tais dispositivos obedecem às leis da Álgebra de Boole e, por esta razão, são conhecidos como portas lógicas.
 

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