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FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA


 

 

Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

 

 


 

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

 

   

 

 


 

Fig. 4.6

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 

 

..

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

 


 

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.) 

 

 


 

fig. 4.7.

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.

Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:

Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.

Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

 

 

..

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida


 

 

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. 

 

.

 


 


Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:

                y = mx + b             (1)

Como P1(x1, y1l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

                 y1 = mx1 + b          (2)

fig. 4.8

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y1 = m(x – x1) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.

Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: 

y = mx + (y1 – mx1).

Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:

b = y1 – mx1

 

 

 

..

 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

 


 

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. 

....

 


 


Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 

                           y – y1 = m1 (x – x1)    (1)

representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2l, entonces satisface su ecuación.

    fig. 4.9.

Esto es y2 – y1 =; de donde  (2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3) 

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.

Observaciones
 

     i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma: 

 

            Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

   ii.   Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0

 

 

 

 

 

....

 Ecuación segmentaria de la linea recta

 


 

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10) 

 

 


 


Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: 

Es decir,  de donde, 

                       fig. 4.10

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

 

 

 

..

Ecuación general de la linea recta

 


 

La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. 

 

 


 

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
 

TEOREMA

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.
 

Demostración

 i.   Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

       En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
 

(2)

La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es 

(fig. 4.11)

                      fig. 4.11.

ii. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde 

(3)

 


La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es 

(fig. 4.12)

                fig. 4.12.

iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

 

La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es  y cuyo intercepto con el eje y viene dado por    (fig. 4.13)

fig. 4.13.

obeservaciones


    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal 
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos 
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)
(1B)
(1C) 

        En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos 
        constantes independientes, por ejemplo  en (1A)
 

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.


     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general 
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m 
         viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y  
         viene dado por .

         Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

 

. Ecuación general de la recta

Si en la expresión de la ecuación continua de la recta multiplicamos los dos miembros en cruz, obtenemos:

Si A=b, B=-a, C=ayo-bxo, concluimos:

Ax+By+C=0

que es la ecuación general de la recta.

Si observamos la escena, desde un punto de vista geométrico los coeficientes A y B de la ecuación general de la recta son las componentes de un vector n=(A,B) normal (perpendicular) a dicha recta ya que el producto escalar de (A,B)=(b,-a) y el vector director de la recta (a,b) es nulo:

(A,B)·(a,b)=(b,-a)·(a,b)=ba-ab=0

Modifica los parámetros A, B y C de forma independiente en la escena ¿Qué efecto se produce en la recta?. 

Observa la relación entre los coeficientes A y B de la ecuación y las componentes del vector director de la recta.

ECUACION PRINCIPAL DE LA RECTA
 La ecuación principal de la recta es de la forma: 
 
   y   =   m x  +  n
 
   Donde:
   m   es la pendiente de la recta  y
   P ( 0 , n )   es el punto de intersección de la recta  con  el eje Y
 
 DETERMINACION DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA
 Si la recta pasa por los puntos  P ( x 1 , y 1 )  y  Q ( x 2 , y 2 ) , entonces su pendiente
es:
 
              y 2  –  y 1
  m   =   ––––––––––          ( x 2   ¹   x 1 )
DETERMINACION DE LA ECUACION PRINCIPAL DE LA RECTA
 Si se conocen su pendiente  ( m )  y  las coordenadas de un punto de ella
P ( x 1 , y 1 ) , entonces:
 
   y  –  y 1   =   m ( x  –  x 1 )
 
 Si se conocen las coordenadas de dos puntos de ella  P ( x 1 , y 1 )  y  Q ( x 2 , y 2 ) ,
entonces:
 
   y  –  y 1          y 2  –  y 1
  ––––––––   =   ––––––––––          ( x 2   ¹   x 1 )
   x  –  x 1          x 2  –  x 1
 
 
 ECUACION GENERAL DE LA RECTA
 La ecuación general de la recta es de la forma:
 
   A x  +  B y  +  C   =   0
 
   Donde:
   A 2  +  B 2   ¹   0
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
 Si la recta no pasa por el origen  O ( 0 , 0 )  y  P ( a , 0 )  y  Q ( 0 , b )  son los puntos
de intersección de la recta con los ejes  X  e  Y  respectivamente, entonces su
ecuación simétrica es de la forma:
 
   x         y
  ––   +   ––   =   1          (  a b   ¹   0 )

 

 

Ecuaciones paramétricas de la recta

Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial:

Igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Ecuación continua de la recta

Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e igualando ambas expresiones:

Esta última igualdad sería la ecuación continua de la recta que pasa por un punto fijo Po(xo,yo) y que tiene como vector director v=(a,b).

Inclinación y pendiente de una recta

·         Se llama inclinación de una recta al ángulo a que ésta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.

·         La pendiente m de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación

Varía el valor de la pendiente y observa que para valores de la inclinación correspondientes al primer cuadrante 0º<a<90º, la pendiente m es positiva; mientras que para inclinaciones correspondientes al segundo cuadrante 90º<a<180, la pendiente m es negativa.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Consideramos una recta s, un punto P que pertenece a la recta y otro punto O que no pertenezca a ella y un vector con origen en el punto P y la misma dirección de la recta s.

Los puntos O y P determinan el vector . El punto R es variable sobre la recta s.

De acuerdo a la definición de producto de un vector con un número, podemos afirmar que para toda posición del punto R sobre la recta s, siempre existe un número tal que .

Podemos ver, además, que los vectores y son consecutivos, de donde . Entonces sustituyendo nos queda . A esta ecuación se le llama ecuación vectorial de la recta. Las variables en esta ecuación son y .

 

ECUACIÓN DE LA RECTA EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

 

Ahora tomamos los mismos elementos pero en un sistema de coordenadas. En este caso podemos ver que cada uno de estos elementos pueden determinarse mediante un par ordenado de números.

, , , ,

Partiendo de la ecuación vectorial de la recta , sustituimos y nos queda:

 

Nos queda entonces:

;

 

 

Esta es la ecuación de una recta conocidos un punto y la dirección de la recta.

 

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene dirección

La ecuación de la recta nos queda: . Efectuando operaciones: .

 

 

 

 

OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Recordemos que, dado un vector la dirección está dada por el ángulo que forma la dirección con el eje de abscisas. Si llamamos dicho ángulo, habíamos concluido que .

Volvamos a la ecuación de la recta conocidas su dirección y un punto de ella . Si trasformamos esta ecuación, nos queda: . A la expresión le llamaremos "pendiente" o "coeficiente angular" de la recta y lo indicaremos con la letra m. A partir de lo anterior podemos definir que "la pendiente o coeficiente angular de una recta es la tangente del ángulos que forma la misma con el eje de abscisas".

La ecuación queda expresada

Partiendo de la ecuación anterior, . La expresión y entonces nos queda . A esta le llamaremos forma reducida de la ecuación de la recta en la que m es la pendiente o coeficiente angular y n es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Volviendo a la ecuación original , efectuamos operaciones y nos queda , es decir, queda una ecuación de la forma , a la que se le da el nombre de ecuación general de la recta.

 

 

 

 

 

 

POSICIONES PARTICULARES DE RECTAS

A partir de la ecuación , estudiaremos qué sucede para diferentes valores de a, b y c.

  1. Esta ecuación representa a una recta paralela al eje de abscisas. En particular si , queda , la ecuación del eje de abscisas.
  2. Esta ecuación representa a una recta paralela al eje de ordenadas. En particular si queda , la ecuación del eje de ordenadas.

Es la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas.

 TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES DE LA RECTA

Si la ecuación de una recta está dada en su forma general , donde a y b no son cero, podemos transformarla en la forma reducida despejando y: en donde y quedando .

 

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta .

De igual manera si la ecuación de la recta está dada en su forma reducida, la podemos llevar a su forma general:

 

 

 

 

 

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Si en la ecuación vectorial se sutituyen los vectores por sus coordenadas, queda así: (x,y) = (p1,p2) + t (d1,d2)

Expresando por separado cada coordenada se obtienen las ecuaciones paramétricas:

 

(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta 
(p1,p2) son las coordenadas de un punto conocido de la recta 
(d1,d2) son las coordenadas de un vector paralelo a la recta 
t es un parámetro. Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta

 

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Ésta que se ha descrito es la ecuación vectorial de la recta:

OX = p + t.d

 

O es el origen de coordenadas 
X es un punto cualquiera variable de la recta 
p es el vector posición de un punto P conocido de la recta 
d es un vector dirección conocido, paralelo a la recta 
t es un parámetro. Al dar valores a t, obtendremos los distintos puntos X de la recta

 

Sistema de coordenadas

Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano.

El sistema al que nos referiremos a continuación es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal. Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí X'X e Y'Y llamadas ejes de coordenadas.

La recta X'X recibe el nombre de EJE X y la recta Y'Y recibe el nombre de EJE Y.

La intersección entre el Eje X y el Eje Y es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.

 El origen del sistema divide a cada eje en dos semi-ejes:

(a)   las ABSCISAS ubicadas a la derecha del eje Y, respecto del origen, son positivas y las ubica­das a la izquierda son negativas.

(b)   las ORDENADAS ubicadas hacia arriba del eje X, respecto del origen, son positivas y las ubica­das hacia abajo son  negativas.

 Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, numerados según se muestra en la Figura 1.

 

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

En esta escena se definen las condiciones que deben cumplir los puntos X para que sean puntos de la recta. La expresión es una igualdad de vectorial, por eso se denomina ecuación vectorial.

8.- Observa que fijado el punto P y el vector v, cualquier punto X de la recta verifica:

{OX} = {OP} + {PX}

9.- Observa que el vector {PX} es siempre un vector en la dirección de v, por lo tanto, para cada punto X hay un valor de t tal que:

{PX} = t * v

La expresión:
{OX} = {OP} + t.v
se denomina:
ecuación vectorial de la recta
que pasa por
P y tiene la dirección de v.

 


ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA CON COORDENADAS

Esta escena es similar a la anterior, pero ahora se transforman los puntos y los vectores en números, a través de sus coordenadas, obteniéndose una nueva ecuación vectorial.

10.- Modifica el vector v y observa sus coordenadas v1 y v2.

11.- Modifica el punto P(p1,p2) y el vector v(v1,v2) y observa su ecuación vectorial y su expresión en coordenadas.

{OX} = {OP} + t*v
(x,y) = (p1,p2) + t*(v1,v2)

La expresión:
(x,y) = (p1,p2) + t*(v1,v2)
se denomina también:
ecuación vectorial de la recta
que pasa por
P(p1,p2) y
tiene la dirección de
v(v1,v2).

12.- Comprueba que en todos los casos:

x = p1 + t*v1
y = p2 + t*v2

Ecuación vectorial de la recta

Toda recta en el plano queda determinada por un punto Po(xo,yo) y un vector director v=(a,b). Si P(x,y) es un punto cualquiera de la recta, existe un número real t que verifica:

Si observamos la escena, teniendo en cuenta la suma de vectores obtendremos:

esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta, que expresada en coordenadas, viene dada por:

(x,y)=(xo,yo)+t(a,b)

Observa la siguiente escena. Modificando el control t, el punto P se va moviendo por la recta obteniéndose todos los puntos de la misma. La ecuación vectorial de la recta y las coordenadas de sus puntos aparecen en la parte superior izquierda de la escena. Para eliminar el rastro que van dejando los puntos pincha sobre el botón limpiar.

Coordenadas cilíndricas

 

 

 

 

el elemento diferencial  de volumen, se del paralelepípedo formado, para este caso:

 

 

el elemento diferencial de superficie depende del lado que se requiera analizar así por ejemplo tendremos:

 

 

hemos puesto subíndices, para indicar el diferencial se superficie, para mostrar la relación del área elegida, sin embargo en la práctica es común solo escribir dS y se sobre entiende, por el contexto de la operación de que elemento de superficie se trata.

 

Para determinar el elemento diferencial de línea tendremos:

 

cuya magnitud es:

 

Nota: Recodemos que:

 

 

 

 

 

 

 

coordenadas esféricas

 

 

 En el caso de las coordenadas esféricas, al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, se puede considerar que el elemento de volumen tomado, por considerarse diferencial, forma un paralelepípedo, razón por la cual su elemento diferencial de volumen quedara determinado como:

 

 

El caso del elemento diferencial de superficie se determina dependiendo del las superficie a analizar

 

 

el elemento diferencial de línea queda determinado por:

 

 

y su magnitud por:

Nota: Se debe considerar que:

 

 

El uso de los elementos de línea y de superficie toma un lugar especial dentro del electromagnetismo en el uso de teoremas de Gauss y el de Stokes para analizar la carga total contenida en un cuerpo o el flujo de corriente eléctrica, respectivamente, solo por mencionar dos partes donde se hará uso de estos recursos.    

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas se definen de acuerdo a las siguientes relaciones

 

Las relacones inversas son:

 

Geométricamente, los ángulos $(\theta , \phi )$de las coordenadas esféricas corresponden casi exactamente a las coordenadas de latitud y longitud definidas sobre la superficie de la Tierra.

El elemento de longitud se puede calcular de la misma manera que se hizo para el caso de las coordenadas cilíndricas,

 

De esta manera, el elemento de longitud se expresa como

\begin{displaymath}
dl^2 = dr^2 + r^2 d\theta ^2 + (r sen(\theta) )^2 d\phi^2 \end{displaymath}

Con esto, el elemento de volumen se puede expresar como

\begin{displaymath}
d^3 r = r^2 dr sen(\theta) d\theta d \phi. \end{displaymath}

El elemento de área (escalar), sobre una superficie de esférica de radio R será entonces

\begin{displaymath}
dS_R = r^2 sen(\theta) d\theta d\phi. \end{displaymath}