Representación de una
señal de tiempo continuo mediante sus muestras
En general, no es de esperarse que en la ausencia de cualquier condición, una señal se pueda especificar unívocamente por una secuencia de muestras igualmente espaciadas. Por ejemplo, en la figura siguiente se ilustra tres diferentes señales de tiempo continuo, que tienen valores idénticos en múltiplos enteros de T (período de muestreo).
Tres señales de tiempo continuo con valores idénticos en múltiplos enteros de T
En general, hay una cantidad infinita de señales que pueden generar un conjunto dado de muestras. Sin embargo, si una señal es de banda limitada y si las muestra son tomadas lo suficientemente cercanas unas de otras, en relación con la frecuencia más alta presente en la señal, entonces, las muestras especifican unívocamente a la señal y puede ser reconstruida perfectamente. La manera de obtener la muestras de una señal es modulándola en amplitud con un tren de impulsos periódico.
Específicamente, el teorema del muestreo se enuncia de la siguiente forma:
"Dada una señal de banda limitada, cuya amplitud en el dominio de la frecuencia es cero en los límites de la banda, entonces, la señal está determinada unívocamente por sus muestras si, y solo si, la frecuencia de muestreo es mayor o igual al doble de la frecuencia límite máxima de la banda de la señal"
La frecuencia de muestreo se conoce también como la frecuencia de Nyquist.
Aplicación del
Simulink para la comprobación del teorema del muestreo
A continuación se ilustra, paso a paso, como se puede comprobar el teorema del muestreo utilizando la versión 1.2c del Simulink de MATLAB.
En la figura se muestra el diagrama de un sistema de modulación con pulsos. La entrada es una señal de pulsos cuadrados que tiene las siguientes características:
Período: 1s.
Ancho del pulso: 0.3s.
Amplitud: 1.
Tiempo de inicio: 0s.
En la figura siguiente se muestra la forma de esta onda en el tiempo y en el espacio dado por el display de tiempo y frecuencia (Power spectral density):
Como puede observarse, el espectro en frecuencia de la señal de salida del generador de pulsos es infinito, teniendo armónicos a frecuencias superiores de los 15rad/s. El teorema de muestreo impone la condición de que la señal debe tener su banda de frecuencias limitada, para lograr esto se pasa la señal a través de un filtro pasa bajas de manera que pueda aprovecharse la mayor parte de la energía de la señal. Viendo en la figura puede apreciarse que, hasta los 15rad/s, existen los armónicos que contienen gran parte de la energía de la señal, entonces, se puede fijar la frecuencia de corte del filtro pasa bajas a 15rad/s ya que, a esta frecuencia, la amplitud del espectro en frecuencias es cero, de esta manera se cubre otra parte del teorema de muestro. En la siguiente figura se muestra la señal de salida del filtro pasa bajas, que es en esencia la señal que se va a muestrear.
Fijando el límite superior de la banda de la señal en 15rad/s, se tiene a la señal limitada en frecuencia. La condición de Nyquist, implícita en el teorema del muestreo, impone que la frecuencia de la función de muestreo debe ser mayor o igual al doble de la frecuencia límite superior de la banda de la señal, con esto se deduce la siguiente expresión:
wS ³ 2wM
donde wS es la frecuencia de la
función de muestreo y wM es la frecuencia máxima de la señal. Además:
w = 2p / T Þ T = 2p / w
\ Ts £ Tm / 2
donde Ts y Tm corresponden a los períodos de la función de muestreo y de la señal, respectivamente.
Como se dijo anteriormente, la manera de obtener las muestras de una señal es modulándola en amplitud con un tren de impulsos periódico. La señal de muestreo es el mismo tren de impulsos y, para obtener un buen muestreo, según el teorema, es necesario que estos impulsos estén muy cercanos. Una manera de obtener la función de muestreo es a partir de un generador de pulsos cuadrados con un ancho de pulso varias veces menor al su período.
En este caso, al muestreador se le asigna una frecuencia inicial de muestreo de 31.41592654rads/s, es aproximadamente el doble de la frecuencia límite superior de la señal de entrada del muestreador.
Con la ayuda de los osciloscopios de Simulink se puede apreciar la forma de las muestras (en color azul) superpuesta a la forma de la señal (en color amarillo):
Frecuencia de muestro 31.41592654rads/s
Frecuencia de muestreo 41.88790205rads/s
Frecuencia de muestreo 62.83185307rads/s
Frecuencia de muestro 125.6637061rads/s
En las últimas cuatro figuras tómese en cuenta sólo el primer período de la señal y obsérvese que en la medida en que se aumenta la frecuencia de muestreo (es decir, que el período de muestreo va disminuyendo), las muestras se aproximan cada vez más a la forma de la señal.
De esta manera queda comprobada, por medio de simulaciones, la veracidad del teorema de muestreo.
Es necesario mencionar que la calidad del despliegue de las gráficas en las simulaciones depende de el método de aproximación que se aplique y las tolerancias que se le especifiquen al programa.
