GUÍAS DE ONDA EN COORDENADAS CURVILINEAS

 

En forma general, se hace el análisis en coordenadas curvilíneas para el potencial vectorial electrodinámico A libre de fuentes:

div A = 0 Þ rot A = W(r, t)

donde W(r, t) es el potencial vectorial de Buchholz que, como ya se sabe, cumple con la ecuación de onda

DW(r, t) = mk w_t(r, t) + mx w_tt(r, t)

donde r representa al espacio definido por las coordenadas u1, u2, z.

DW(r, t) = mx w_tt(r, t)

W(r, t) = Â_e{Ẅ e^jwt}

Donde Ẅ es una función que depende del espacio r definido por las coordenadas u1, u2, z. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de onda, se obtiene lo siguiente:

DW(u₁, u₂, z, t) = -w²mx Ẅ e^jwt (a)

DW(u₁, u₂, z, t) = e^jwt DẄ

DẄ = -w²mx Ẅ (b)

Esta es la ecuación de onda de Ẅ. Como ya se sabe, la constante de onda viene dada por la siguiente expresión:

b ² = w²mx

entonces, la ecuación (b) puede expresarse de la siguiente forma:

DẄ = -b ² Ẅ (1)

el primer miembro de la igualdad viene dado por la siguiente ecuación

donde h = h₁h₂. Entonces la ecuación (1) puede escribirse de la forma siguiente:

(c)

haciendo uso del artificio del producto para Ẅ, se puede obtener la siguiente expresión:

Ẅ = U(u₁, u₂) Z(z)

Sustituyendo en la ecuación (c) y dividiéndola entre U(u₁, u₂) Z(z), entonces:

Para encontrar las soluciones para U(u₁, u₂) y Z(z), se procede de la siguiente manera:

(2)

esta es la ecuación diferencial de U(u₁, u₂).

(3)

esta es la ecuación diferencial de Z.

Condiciones de análisis para las guías de onda en forma general

 

 

4.- La onda se propaga en la dirección del eje z.

Comportamiento de la componente tangencial del campo eléctrico sobre una superficie metálica

 

 

El vector unitario n es normal a la superficie F, n_o es un vector unitario tangente a esta superficie y por lo tanto n_o x n también es tangente a F.

(4)

donde E es el campo eléctrico y ds es el contorno del diferencial de la superficie F y queda definido por la siguiente ecuación:

ds = (n_o x n)ds

E · ds = n_o · (n x E)ds = 0 (5)

Ya se sabe, el potencial vectorial electrodinámico A está libre de fuentes y, por lo tanto, se relaciona con el campo eléctrico como se indica en la siguiente expresión:

E = - ¶ ¤ ¶ t [A] (6)

Con la ecuación (5) se puede deducir lo siguiente:

n x A = 0 (7)

lo que indica que la componente tangencial del potencial electrodinámico A es cero.

Como el potencial vectorial electrodinámico Ä, dependiente del espacio, es un campo libre de fuentes, entonces, se puede expresar como el rotacional de un campo vectorial Ẅ que es el potencial vectorial de Buchholz dependiente del espacio.

Ä= rot Ẅ

Ẅ = e_zẄ_TE + e_z x grad Ẅ_TM (8)

Donde el primer término del segundo miembro de la igualdad describe a la onda TE mientras que el segundo término describe a la onda TM, e_z es un vector unitario en la dirección de propagación.

n x Ä_TE = 0 (9)

Para la onda TE, se tiene lo siguiente:

Ä_TE = rot Ẅ_TE Ù Ẅ_TE = e_zẄ_TE Þ Ä_TE = rot (e_zẄ_TE) (10)

A la ecuación (10) se le puede aplicar el siguiente teorema:

rot (f F) = f rotF + gradf x F

n x (grad Ẅ_TE x e_z) = 0 (11)

a la ecuación (11) se le puede aplicar el siguiente teorema:

B x (C x D) = C(B · D) - D(B · C)

recordando que n es perpendicular a la dirección de propagación, entonces, se pueden realizar las siguientes operaciones:

e_z · (n · grad Ẅ_TE) = 0 Þ e_z · ( n · n ¶ ¤ ¶ n [Ẅ_TE] ) = 0 \ e_z ¶ ¤ ¶ n [Ẅ_TE] = 0 (12)

como Ẅ_TE = U(u₁, u₂) Z(z), entonces, sustituyendo en la ecuación (12):

¶ ¤ ¶ n [U(u₁, u₂)] = 0

"la primera derivada normal de la función de posición U(u₁, u₂) es cero"

esta condición ratifica la presunción de que la onda se propaga en la dirección del eje z.

Ä_TM = rot Ẅ_TM Ù Ẅ_TM = e_z x grad Ẅ_TM Þ Ä_TM = rot (e_z x grad Ẅ_TM) (15)

A la ecuación (15) se le puede aplicar el siguiente teorema

rot (A x B) = (Bgrad)A - (Agrad)B + A divB - B divA

recordando que A es perpendicular a la dirección de propagación, entonces, se puede deducir la siguiente expresión:

Ä_TM = (¶ ¤ ¶ z) gradẄ_TM - e_zb ² Ẅ_TM (16)

n es normal a la superficie metálica, e_s es tangente a esta superficie.

Es posible escribir gradẄ_TM en términos de n, e_s y e_z :

Ä_TM = -¶ ²¤ ¶ z¶ s [Ẅ_TM] e_s - ¶ ²¤ ¶ z¶ n [Ẅ_TM] n - ¶ ²¤ ¶ z² [Ẅ_TM] e_z - e_z b² Ẅ_TM

-¶ ²¤ ¶ z¶ s [Ẅ_TM] e_z + (¶ ²¤ ¶ z² [Ẅ_TM] - b² Ẅ_TM) e_s = 0 (17)

como Ẅ = U(u₁, u₂)Z(z), entonces, al multiplicar la ecuación (3) por U(u₁, u₂), se llega a la siguiente expresión:

-¶ ²¤ ¶ z² [Ẅ_TM] = Ẅ_TM (b _mn² - b ²)

-¶ ²¤ ¶ z¶ s [Ẅ_TM] e_z + b_mn² Ẅ_TM = 0 (18)

como Ẅ = U(u₁, u₂)Z(z), entonces:

¶ ²¤ ¶z¶ s [Ẅ_TM] e_z = ¶ ²¤ ¶ z [Z(z)] ¶ ¤ ¶ s [U_TM(u₁, u₂)] e_z

como la onda se propaga en la dirección del eje z, entonces, ¶²¤¶z [Z(z)] ¹ 0, por lo tanto, es válida la siguiente proposición:

¶ ¤ ¶ s [U_TM(u₁, u₂)] = 0 Û b _mn² = 0 (19)

esta es una condición de onda plana porque b_mn² = 0.

Para b _mn² ¹ 0, se cumple lo siguiente

Ẅ = U(u₁, u₂)Z(z) Þ Ẅ_TM b_mn² = U_TM(u₁, u₂)Z(z)b_mn² = 0

como la onda se propaga en la dirección del eje z, entonces, Z(z) ¹ 0, por lo tanto, es válida la siguiente proposición:

U_TM(u₁, u₂) = 0 Û b_mn² ¹ 0 (20)

esta es una condición de onda TM porque b _mn² ¹ 0.

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