2. Επισκόπηση βιβλιογραφίας για τη μάθηση

2.1. Εισαγωγή

Καμιά όμως από αυτές δεν ήταν χωρίς προβλήματα στην εφαρμογή της. Σημαντικές δυσκολίες υπήρχαν και σε θέματα λειτουργικότητας στην τάξη και στο ζήτημα της επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών, αλλά και στο χώρο της γνωστικής ανάπτυξης των παιδιών και τη δημιουργία δυναμικών περιβαλλόντων, που να δίνουν την ευκαιρία εξερεύνησης ιδεών σε διαφορετικά επίπεδα και με διαφορετικούς τρόπους συμβολισμού.

Ένας από τους πιο σημαντικούς λόγους είναι ότι τα προ-τεχνολογικά μαθησιακά εργαλεία ήταν ανεπαρκή για την παιδαγωγικά αποτελεσματική απομάκρυνση από το κλασικό μοντέλο δασκάλου-πομπού και μαθητή-δέκτη πληροφοριών.  Αντίθετα ο μικροϋπολογιστής έχει τις εξής δυνατότητες σαν μαθησιακό εργαλείο.

• Αλληλεπίδραση χρήστη - μηχανής, δηλαδή η άμεση και συναφής αντίδραση του υπολογιστή σε εντολές του μαθητή βοηθάει στη δημιουργία δυναμικών μαθησιακών περιβαλλόντων, όπου ενέργειες έχουν άμεσες συνέπειες, οι οποίες με τη σειρά τους διαμορφώνουν τις παραπέρα ενέργειες.
• Συγκεκριμενοποίηση συμβολικών προσπαθειών, δηλαδή η αφαίρεση που συνεπάγεται τη χρήση κάποιου συμβόλου για να εκφραστεί μια ιδέα, έχει συγκεκριμένη συνέπεια, καθεστώντας έτσι τον ίδιο τον συμβολισμό λιγότερο αφηρημένο και δίνοντάς του εμπειρικό και πρακτικό νόημα.
• Περισσότερη συμμετοχή του μαθητή στη ίδια του τη μάθηση, δηλαδή μέσα στο δυναμικό περιβάλλον, ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να μάθει μέσα από προσωπικές επιλογές, δηλαδή να προσαρμόσει το περιβάλλον και το περιεχόμενο της εργασίας, ώστε να μαθαίνει με τον τρόπο που ταιριάζει στον ίδιο.

2.2. Το μοντέλο μάθησης

Η γνώση μας σχετικά με τη μάθηση έχει επηρεαστεί ουσιαστικά από τη δουλειά του Piaget [1]. Η θεωρία του ήταν επαναστατική για την εποχή της, διότι αντίθετα με την επικρατούσα άποψη, συνέλαβε τη γνωστική ανάπτυξη ως ποιοτική αλλαγή στον τρόπο με τον οποίο η γνώση είναι οργανωμένη στο μυαλό και όχι ως μια ποσοτική συνάθροιση μιας αυξανόμενης ποσότητας γνώσης.

O Piaget [2] ορίζει "τη νοημοσύνη σαν την κατάσταση ισορροπίας, προς την οποία τείνουν όλες οι προσαρμογές και οι λειτουργικής φύσεως ανταλλαγές μεταξύ του οργανισμού και του περιβάλλοντός του". Η διατύπωσή του ήδη αυτή μαρτυρεί την πρωταρχική σπουδαιότητα που έχει το ίδιο το υποκείμενο στη διαδικασία της μάθησης. Το παιδί, τονίζει ο Piaget, μαθαίνει μέσα από τη συνειδητοποίηση των δυσκολιών στις οποίες το τοποθετούν διάφορες συνθήκες. Το σπουδαίο είναι να ανακαλύψει το ίδιο το υποκείμενο τις λύσεις. Σ’ αυτό βοηθείται πολύ από την ομαδική ζωή και την άμεση σχέση και κίνηση (αφομοιωτική ή τροποποιητική) προς το περιβάλλον του.

Η προσαρμογή στο περιβάλλον γίνεται όταν οι δύο διαδικασίες, της αφομοίωσης και της συμμόρφωσης, βρίσκονται σε ισορροπία.  Τότε και η διάνοια βρίσκεται σε ισορροπία με το περιβάλλον της. Η εφαρμογή από το παιδί της εμπειρίας του παρελθόντος στο παρόν αποτελεί αφομοίωση. Η προσαρμογή της εμπειρίας, ώστε να συμπεριλάβει και το παρόν αποτελεί συμμόρφωση.  Δηλαδή κατά τον Piaget [3] "κάθε κατάσταση μάθησης περιέχει αφομοίωση. Αυτό σημαίνει ότι το παιδί μπορεί να απορροφήσει μια καινούργια εμπειρία μόνο αν τη μεταβάλει με τέτοιο τρόπο, ώστε να ταιριάζει στο μοντέλο του για τον κόσμο.  Παράλληλα, η παρουσία αυτής της νέας εμπειρίας θα μετατρέψει το νοητικό του μοντέλο. Επομένως κάθε κατάσταση μάθησης περιέχει επίσης συμμόρφωση".

Δύο σημαντικές προσφορές για το πώς η γνώση είναι οργανωμένη στον ανθρώπινο νου μας έχουν δώσει Lawler και ο diSessa.  Ένας κοινός ισχυρισμός τους [1] είναι ότι η γνώση είναι αποσπασματική και ότι η μάθηση συμβαίνει μέσα από μια διαδικασία απόκτησης και αναδιοργάνωσης διακριτών ποσοτήτων γνώσης.

Όσον αφορά για τον τρόπο με τον οποίο είναι δομημένη η γνώση, ο Vergnaud [4] αναφέρει τα "νοητικά πεδία". Σα "νοητικό πεδίο" θεωρεί την τριάδα (S,I,ζ) όπου:
S: ένα σύνολο από τις καταστάσεις (situations), που κάνουν κατανοητή την έννοια.
I: ένα σύνολο από παραλλαγές (invariants) οι οποίες αποτελούν την έννοια.
ζ: ένα σύνολο από συμβολικές αναπαραστάσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν την έννοια, τις ιδιότητές της και τις καταστάσεις στις οποίες αναφέρεται.
Αναφέρει επίσης ότι έχουμε "νοητικό πεδίο" αν έχουμε "ένα σύνολο από καταστάσεις, η κυριότερη από τις οποίες απαιτεί μια ποικιλία από έννοιες, διαδικασίες και συμβολικές αναπαραστάσεις πολύ στενά δεμένες μεταξύ τους". Επισημαίνει επίσης ότι στα νοητικά πεδία πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη μας τα παρακάτω:

• Πρώτον: Μια δοσμένη κατάσταση δεν περιέχει όλες τις ιδιότητες μιας έννοιας. Αν θέλουμε να δούμε όλες τις ιδιότητες μιας έννοιας πρέπει αναγκαστικά να αναφερθούμε σε αρκετά είδη καταστάσεων.
• Δεύτερον: Μια δοσμένη κατάσταση συνήθως δεν περιέχει μια μόνο έννοια. Η ανάλυσή της απαιτεί αρκετές έννοιες.
• Τρίτον: Η τυποποίηση μιας έννοιας, ειδικά όταν την κοιτάμε μέσα από ένα πρίσμα επίλυσης προβλημάτων, καλύπτει μια μεγάλη χρονική περίοδο, με πολλές αλληλεπιδράσεις. Κάποιος μπορεί να μην είναι ικανός να καταλάβει τι κάνει ένας δεκαπεντάχρονος όταν δεν γνωρίζει τις αρχικές έννοιες οι οποίες έχουν διαμορφωθεί στο μυαλό του όταν ήταν οκτώ ή εννιά ή ακόμα τεσσάρων ή πέντε και τα διαφορετικά βήματα με τα οποία αυτές οι έννοιες έχουν μεταμορφωθεί σε ένα μείγμα από ορισμούς και ερμηνείες. Είναι γεγονός οι μαθητές προσπαθούν να φτιάξουν νέες καταστάσεις και νέες κατανοητές έννοιες για αυτούς εφαρμόζοντας και υιοθετώντας τις προηγούμενες αντιλήψεις τους.

Προσπαθώντας να βγάλουμε νόημα από τις διεργασίες με τις οποίες οι μαθητές λειτουργούν, ένα μοντέλο για τη μάθηση των μαθηματικών το οποίο περιέχει τα δυναμικά σχετιζόμενα μέρη της χρήσης (using), διάκρισης (discriminating), γενίκευσης (generalising) και σύνθεσης (synthesising), εν συντομία UDGS. [5]

Τα μέρη του μοντέλου είναι τα εξής:

Using: όπου μια έννοια χρησιμοποιείται σαν εργαλείο με πρακτικούς σκοπούς, για να επιτευχθούν συγκεκριμένοι στόχοι.
Discriminating: όπου τα διαφορετικά μέρη μιας δομής από μια έννοια, που χρησιμοποιούνται σαν εργαλείο, προοδευτικά γίνονται σαφή.
Generalising: όπου η περιοχή της εφαρμογής μιας έννοιας που χρησιμοποιείται σαν εργαλείο συνειδητά επεκτείνεται από μια ειδική σε μια πιο γενική περίπτωση.
Synthesising: όπου η περιοχή της εφαρμογής μιας έννοιας, που χρησιμοποιείται σαν εργαλείο, συνειδητά ολοκληρώνεται με άλλα συναφή (context) της εφαρμογής. Δηλαδή πολλαπλές αναπαραστάσεις της ίδιας γνώσης, σε διαφορετικές συμβολικές φόρμες που παράγονται από διαφορετικά πεδία, ανασχηματίζονται σε ένα ολοκληρωμένο σύνολο.

2.3. Πώς ο προγραμματισμός βοηθάει τη μάθηση

Υποστηρίζεται ότι συγκεκριμένες προγραμματιστικές εργασίες μπορούν να βελτιώσουν την κατανόηση των παιδιών για τις μαθηματικές έννοιες και να αναπτύξουν τις μαθηματικές τους ικανότητες στο λύσιμο προβλημάτων [7],[8].

Η LOGO είναι μια γλώσσα προγραμματισμού, η οποία παρέχει όλες τις δυνατότητες, που δίνουν και οι άλλες γλώσσες προγραμματισμού. Έχει όμως την ιδιότητα να είναι εύκολα κατανοητή από μικρά παιδιά. Ο Clements [9] θεωρεί ότι η πιο "φυσική επιλογή για τη χρησιμοποίηση μιας προγραμματιστικής γλώσσας σε τέτοιου είδους δραστηριότητες είναι η LOGO".

Με τη LOGO τα παιδιά μπορούν να δημιουργήσουν γεωμετρικά σχήματα, πληκτρολογώντας ένα σύνολο από εντολές στον υπολογιστή, που καθοδηγούν την κίνηση μιας κατευθυνόμενης χελώνας στην οθόνη. Η υπόθεση είναι ότι κάνοντας προγραμματισμό με τη LOGO, μαθαίνουν μαθηματικά χρησιμοποιώντας έννοιες, οι οποίες τα βοηθούν στην κατανόηση και στη κατεύθυνση των κινήσεων της χελώνας [8],[10] και ότι αναπτύσσουν ικανότητες για τη λύση προβλημάτων, επειδή έτσι μαθαίνουνε "να είναι μαθηματικοί" αντί να μαθαίνουν για τα μαθηματικά [11]

Πραγματικά, μόλις οι μαθητές αποφασίσουν ή τους ανατίθεται να σχεδιάσουν ένα σχήμα με τη LOGO, πρέπει να σκεφτούν ένα σύνολο από εντολές που θα κάνουν τη χελώνα να σχεδιάσει το σχήμα. Ίσως αναλύσουν το σχήμα και το σπάσουν σε μικρότερα μέρη, τα οποία είναι πιο εύκολο να κατασκευαστούν.  "Ο μαθητής μπορεί να κληθεί να φτιάξει μια διαδικασία, να τη δοκιμάσει, να βρει τα λάθη, ή τις ελλείψεις της, να τη διορθώσει ή να τη βελτιώσει, να τη δοκιμάσει ξανά και πιθανά να την επεκτείνει σε μια πιο γενική διαδικασία [7]. Αυτό δείχνει ότι συγκεκριμένα περιβάλλοντα LOGO, δίνουν έμφαση στην ανάλυση προβλημάτων, εκφράζοντας τη σκέψη του μαθητή, τυποποιώντας νοητικά μοντέλα, απομακρύνοντας και διορθώνοντας νοητικά λάθη, εκφράζοντας στόχους και στρατηγικές προτού κάνουν φανερές κινήσεις για τη λύση του προβλήματος, δημιουργώντας κατάλληλες αναπαραστάσεις του προβλήματος, παίρνοντας υπεύθυνες αποφάσεις και αλγορίθμους για διόρθωση λαθών-όλα τα βασικά στοιχεία για τη λύση προβλημάτων [12]. Πραγματικά πολλές μελέτες έχουν δείξει ότι το προγραμματιστικό περιβάλλον μπορεί να αυξήσει συγκεκριμένες ικανότητες για την επίλυση προβλημάτων [13],[14],[15].

Ο Papert [8] συμφωνεί ότι η LOGO εφοδιάζει τα παιδιά με ένα μέσο και μια γλώσσα για να "σκέφτονται για τη σκέψη", μια δραστηριότητα η οποία μπορεί να προάγει την ανάπτυξη συγκεκριμένων μεταγνωστικών διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων. Έχει δειχθεί ότι η εμπειρία με τη LOGO μπορεί να αυξήσει σημαντικά τις μεταγνωστικές τους ικανότητες [16],[17]. Έτσι λοιπόν υπάρχει η ανάγκη να επεκτείνουμε το χώρο των προβλημάτων και των διαδικασιών στη μελέτη των αποτελεσμάτων της LOGO στην επίλυση προβλημάτων.

Για να δούμε γιατί η LOGO μπορεί να προάγει τη μάθηση των διαφόρων εννοιών, ας θεωρήσουμε τι συμβαίνει όταν ζητείται από τους μαθητές να κατασκευάσουν μια ακολουθία από εντολές (μια διαδικασία) για να σχεδιάσουν ένα παραλληλόγραμμο.  Αυτοί κάνουν την έννοια του παραλληλογράμμου περισσότερο καθαρή αναλύοντας μέσα στο μυαλό τους τα συστατικά μέρη του παραλληλογράμμου και μετά καθορίζουν τις εντολές για να κατασκευάσουν αυτά τα συστατικά μέρη. Ο Papert ισχυρίζεται ότι, "... ο υπολογιστής επιτρέπει ή υποχρεώνει το παιδί να εξωτερικεύσει τις διαισθητικές του προσδοκίες. Όταν η διαίσθηση ερμηνεύεται μέσα σ’ ένα πρόγραμμα τότε αυτό χρησιμεύει στην απομοντελοποίηση της διαισθητικής γνώσης[8].  Αυτό σημαίνει ότι όταν οι μαθητές σχεδιάζουν μια διαδικασία που κατασκευάζει ένα παραλληλόγραμμο αυτοί κατασκευάζουν ένα τυπικό ορισμό του παραλληλογράμμου και κάνοντας αυτό, εξωτερικεύουν τις διαισθητικές τους ιδέες για τα παραλληλόγραμμο. Το τρέξιμο της διαδικασίας δίνει τη δυνατότητα σ’ αυτά να δοκιμάσουν την εγκυρότητα του ορισμού τους και έτσι λοιπόν να συλλογιστούν πάνω στην αντίληψή τους. Τέτοιες εμπειρίες ενθαρρύνουν τους μαθητές να φτιάξουν νοητικές δομές ή σχήματα τα οποία περιέχουν μια περισσότερο τυποποιημένη έννοια του παραλληλογράμμου. Αυτά τα σχήματα μπορεί να σχηματίσουν τη βάση για περισσότερο πολύπλοκα επίπεδα της μαθηματικής γνώσης [18] αλλά και πιο γενικών εννοιών.

Ο Papert [8], αναφέρει ότι "η LOGO βοηθάει τα παιδιά να αναπτύξουν τη γενική σκέψη τους και τις ικανότητες επίλυσης προβλημάτων, όπως ο σχεδιασμός, η ανάλυση του προβλήματος και η διόρθωση των λαθών". Επίσης τα βοηθάει στην απόκτηση μιας σειράς από δυναμικές έννοιες που έχουν μια ευρεία περιοχή εφαρμογής, όπως είναι η μεταβλητή και η αναδρομή.  Μια άλλη ιδέα "κλειδί" που αναφέρεται στη θεωρία του Papert [8] είναι ότι η LOGO μπορεί να κατανοηθεί σύμφωνα με μια στρατηγική αυτοεξερεύνησης, δηλαδή με έναν αυθόρμητο και φυσικό τρόπο ανάλογο με το πώς ένα μικρό παιδί μαθαίνει να μιλάει. Αυτό ο Papert το ονομάζει "μάθηση χωρίς διδασκαλία" ή "μάθηση χωρίς πρόγραμμα σπουδών". Αυτή η έννοια της διεργασίας μάθηση-διδασκαλία, βασίζεται πάνω στη δουλειά του Piaget, πιο συγκεκριμένα στην άποψή του ότι τα παιδιά χτίζουν και αναπτύσσουν τις δικές τους διανοητικές δομές μέσω της αλληλεπίδρασής τους με το περιβάλλον.
 
Υπάρχουν γνωστικές ικανότητες τις οποίες τα παιδιά μπορούν αποκτήσουν καθώς μαθαίνουν να προγραμματίζουν. Ανάμεσα στις πιο σημαντικές ικανότητες οι οποίες αναφέρθηκαν από τους Feurzeig, Horwitz και Nickerson [19], είναι:

(1) η αυστηρή σκέψη και η ικανότητα να εκφράζουν τις σκέψεις τους με ορθότητα και ακρίβεια
(2) η πολύ καλή κατανόηση των μεθόδων για την επίλυση ενός προβλήματος όπως είναι ο σχεδιασμός, η ανάλυση ενός προβλήματος στα συστατικά του μέρη και η σκέψη ενός ανάλογου προβλήματος
(3) η ικανότητα να εξερευνήσουν και να διορθώσουν τα λάθη σε μια διαδικασία κατά την επίλυση του προβλήματος
(4) η μεταγνωστική γνώση, όπως η αντίληψη ότι για τα περισσότερα προβλήματα υπάρχουν διαφορετικές στρατηγικές επίλυσης.

Κατά τη διάρκεια της τελευταίας δεκαετίας έχουν γίνει δυνατοί ισχυρισμοί για την εκπαιδευτική αξία της LOGO.  Σύμφωνα με τους υποστηρικτές της μάθησης της LOGO σε μικρά παιδιά, "η LOGO οδηγεί τα παιδιά στην ανάπτυξη ικανοτήτων γενικής σκέψης και στην απόκτηση δυναμικών μαθηματικών εννοιών".[22] Η απόκτηση όμως των δυναμικών ιδεών και ικανοτήτων, απαιτεί ένα δυναμικό μαθησιακό περιβάλλον. Με την έννοια του δυναμικού μαθησιακού περιβάλλοντος εννοούμε μια κατάσταση στην οποία "υπάρχει μια ισορροπία ανάμεσα στην ελευθερία που έχουν οι μαθητές να δουλεύουν πάνω στις εργασίες τους και στη δόμηση της δραστηριότητας για συγκεκριμένα μαθησιακά αποτελέσματα" [23]. Σ’ αυτό το περιβάλλον παρέχονται μεγάλες ευκαιρίες για ενεργή και ανεξάρτητη εξερεύνηση των εργασιών που γίνονται από τα παιδιά. Οι ευκαιρίες αυτές συνδυάζονται με μια επαρκή συστηματική παρέμβαση, που αφορά την απόκτηση και μεταφορά των βασικών εννοιών και ικανοτήτων σκέψης.

Ο Clements [9] αναφέρει για τον τρόπο που βοηθάει η LOGO στη διαδικασία της μάθησης: "Η έμφαση που δίνει η LOGO στα γραφικά χελώνας επιτρέπει στα παιδιά να διαμορφώσουν σημαντικά προβλήματα διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας για τους εαυτούς τους. Αυτά πρέπει να δημιουργήσουν ιδέες για εργασίες, να αναπαραστήσουν αυτές σαν στόχους και να αναγνωρίσουν τα συγκεκριμένα προβλήματα που υπάρχουν για να φτάσουν αυτούς τους στόχους. Έτσι λοιπόν πρέπει να καθορίσουν τη φύση κάθε προβλήματος και υποπροβλήματος."

Η διαδικαστική φύση της LOGO επιτρέπει στα παιδιά να αναλύσουν μια εργασία σε υποεργασίες, που η κάθε μια μπορεί να υλοποιηθεί από ξεχωριστές διαδικασίες και μετά να σχεδιάσουν το πώς θα συνδυάσουν αυτές τις διαδικασίες, για να φέρουν εις πέρας την εργασία.

Προγραμματίζοντας σε γραφικά χελώνας απαιτείται αναπαράσταση της λύσης της διεργασίας εσωτερικά, σαν ένα αρχικό στάδιο "στόχος", σαν μια ηθελημένη σημασιολογική λύση, της οποίας η οργάνωση πρέπει να εκφραστεί για άλλους και σαν ένας εκτελέσιμος κώδικας μηχανής. Κατ’ αυτό τον τρόπο ο μαθητής επιλέγει μια διανοητική αναπαράσταση, καθώς αναπαριστά τη σκέψη του με πολλαπλούς τρόπους, δηλαδή δια λόγου, γραφικά και τυπικά με τον κώδικα του προγράμματος. Αυτό τον κάνει περισσότερο ευέλικτο στο να διαλέγει και χρησιμοποιεί αναπαραστάσεις για το κάθε είδους πρόβλημα που του παρουσιάζεται.

Μια διαδικασία σε LOGO αναπαριστά μια εξωτερική εκδήλωση της σκέψης ενός μαθητή για τη λύση ενός προβλήματος. Το τρέξιμο της διαδικασίας επιτρέπει στο μαθητή να παρακολουθήσει την εγκυρότητα της λύσης του. Επίσης η γραφική αναπαράσταση των λαθών που προσφέρει η LOGO, καθώς και ο εύκολος σε χρήση editor, υποστηρίζει την εύκολη διόρθωση των λαθών που έχουν γίνει κατά την επίλυση ενός προβλήματος. Η πιο πάνω διαδικασία της "γνωστικής παρακολούθησης" που προσφέρει ο προγραμματισμός σε LOGO, μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να συνηθίσουν να αναγνωρίζουν και να διορθώνουν τα λάθη που γίνονται στη σκέψη τους.

2.4. Μάθηση μαθηματικών

"Η κατασκευή μαθησιακών περιβαλλόντων στα οποία η δύναμη των μαθηματικών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιλύσει προβλήματα, προσφέρει μια ευκαιρία για την εφαρμογή μαθηματικών ιδεών και λειτουργιών σαν εργαλεία σε καταστάσεις που έχουν σημαντικό νόημα για το κάθε άτομο ξεχωριστά." [5]

Σ’ αυτές περιπτώσεις, η προσοχή του μαθητή εστιάζεται στη χρήση στη οποία η έννοια αυτή τίθεται. και είναι προφανές ότι ο χρήστης μπορεί να μην είναι ενήμερος με κάποιο απόλυτο νόημα των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων, που εμπεριέχονται στη δραστηριότητα. Το πρόβλημα επομένως είναι να φέρουμε αυτές τις υπονοούμενες μαθηματικές δομές σε ένα "επίπεδο συνειδητής αντίληψης".

Ο Feurzeig [24] και ο Papert στις τελευταίες τους έρευνες έδειξαν ότι μαθαίνοντας τα παιδιά να προγραμματίζουν σε LOGO, εφοδιάζονται με ένα "νοητικό πλαίσιο εργασίας" με το οποίο μαθαίνουν μαθηματικά. Ο Papert επίσης έχει πει ότι η μάθηση της LOGO μπορεί να εισαγάγει τα παιδιά μέσα σε ένα "μαθηματικό τρόπο σκέψης", ο οποίος "μόλις μαθευτεί θα κάνει πολύ εύκολο το να μάθουν άλγεβρα ή γεωμετρία" [11].

Οι Hoyles και Noss [25] αναφέρουν ότι "ο προγραμματισμός σε LOGO, βλέπεται σαν ένας τρόπος με τον οποίο τα παιδιά ασχολούνται με μαθηματικές δραστηριότητες, σαν ένα περιβάλλον δηλαδή για να κάνει κανείς μαθηματικά, αντί απλά σαν ένα μέσο για τη μάθηση ενός μαθηματικού περιεχομένου από τη μια πλευρά ή σαν ένα μέσο για την απόκτηση μερικών μεθόδων, που θα βοηθήσουν στην επίλυση ενός προβλήματος από την άλλη".

Μαθαίνοντας τα παιδιά να προγραμματίζουν σε LOGO, μπορούν να χρησιμοποιούν τα μαθηματικά με ένα λειτουργικό τρόπο έτσι ώστε να επιτύχουν τους σκοπούς τους. Επιπλέον, η τυποποίηση μέσο της κατασκευής προγραμμάτων σε LOGO, σε διάφορα επίπεδα πολυπλοκότητας, δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να χτίσουν συμβολικές γλώσσες για τους εαυτούς τους, να δώσουν σημασία σ’ αυτές και να δουν τα αποτελέσματα του χειρισμού και της εκτέλεσης των συμβολικών τους αναπαραστάσεων. Μ’ αυτό τον τρόπο υπονοείται ότι μια σημαντική σχέση είναι δυνατό να υπάρχει ανάμεσα στο (μαθηματικό) περιεχόμενο και στη (συμβολική) φόρμα. Επιπλέον εξαιτίας της φύσης της προγραμματιστικής δραστηριότητας, οι τυποποιήσεις των παιδιών (με την έννοια των προγραμμάτων) μπορούν πολύ ευκολότερα να ολοκληρωθούν μέσα σε κοινωνικά αποδεκτά μαθηματικά.

Πρόσφατες μελέτες που έγιναν σε LOGO διευκρινίζουν με τι είδους μαθηματικά ασχολείται ένας μαθητής, όταν αρχίζει να προγραμματίζει σε LOGO. Κατά το σχεδιασμό και τον έλεγχο των αλγορίθμων, οι μαθητές δημιουργούν υποθέσεις, θέτουν προβλήματα και εξετάζουν τις πιθανές λύσεις. Η απασχόληση σ’ αυτή την εργασία καλείται μαθηματικοποίηση.

Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες το περιβάλλον της LOGO είναι καθαρά μαθηματικό. Η διεργασία του χειρισμού των LOGO αντικειμένων -εάν και αφηρημένα- είναι αυτή της μαθηματικοποίησης. Είναι η φύση των αντικειμένων από μόνα τους που παρέχουν τα μαθηματικά. Τα αντικείμενα αυτά είναι τα δυναμικά κατασκευαστικά τμήματα των μαθηματικών δομών.

Η δομή που έχει η γλώσσα LOGO παρέχει τα μαθηματικά εργαλεία για μια τέτοια αντίληψη. Για παράδειγμα, ο πλούτος των διαφόρων ιδεών κλειδιά στη LOGO που λειτουργούν μεταφορικά για δυναμικές μαθηματικές ιδέες, δεν πρέπει να υποτιμηθούν - οι διαδικασίες σαν συναρτήσεις, οι είσοδοι σαν μεταβλητές, η αναδρομή σαν επαγωγή. Σε ένα περιβάλλον που στηρίζεται σε μια γλώσσα προγραμματισμού υπάρχουν δυνατά στοιχεία μαθηματικοποίησης. Όμως μαθηματικοποίηση χωρίς μαθηματικό περιεχόμενο σημαίνει ότι δεν κάνεις μαθηματικά.  Έχει υποστηριχτεί ότι μια δραστηριότητα όπως είναι το χτύπημα ενός κουδουνιού είναι μαθηματική, διότι υπάρχουν εμφωλιασμένες μέσα σ’ αυτή σημαντικές μαθηματικές δομές. Το χτύπημα του κουδουνιού δεν είναι μαθηματικά. Το γράψιμο όμως ενός προγράμματος σε LOGO το οποίο εξομοιώνει το χτύπημα του κουδουνιού είναι μαθηματικά.

2.5. Μάθηση γεωμετρίας

Λειτουργώντας σα μια συσκευή μετάβασης ανάμεσα σε συγκεκριμένες εμπειρίες και αφηρημένα μαθηματικά, μπορεί να διευκολύνει τα παιδιά να περιγράψουν τα σχήματα κάνοντας χρήση των γεωμετρικών ιδεών." [26]

O Clements [27] χωρίζει τα διάφορα μέσα για την εκμάθηση γεωμετρίας ως εξής:
Υπολογιστές για μάθηση γεωμετρίας
Υπάρχουν συγκεκριμένες λειτουργίες των υπολογιστών που δεν μπορούν να υπάρξουν εύκολα σε άλλα μέσα επικοινωνίας. Εδώ θα εστιαστούμε σ’ εκείνες τις λειτουργίες που αφορούν το χώρο της γεωμετρίας. Πιο κάτω αναφέρονται τα χαρακτηριστικά των υπολογιστών που σχετίζονται με τη γεωμετρία.

• παρέχοντας δυνατότητες γραφικών, οι υπολογιστές εμφανίζονται να έχουν ουσιαστικές δυνατότητες στο να διευκολύνουν την κατασκευή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων.
• Μπορούν να αποτελέσουν ένα περισσότερο ακριβές περιβάλλον από το χαρτί το μολύβι και όλα τα σχετικά εργαλεία.
• Μπορούν είναι συγκεκριμένοι και κυρίως για το μαθητή.
• Οι αναπαραστάσεις που γίνονται σ’ αυτούς είναι αλληλεπιδραστικές και εύκολες για να χειριστούν.
• Οι υπολογιστές ενθαρρύνουν ένα χειρισμό δηλαδή μια εμπειρική προσέγγιση που μπορεί να είναι συνεπής με τον τρόπο που σκέφτονται τα παιδιά.
• Λάθη τα οποία γίνονται και σχετίζονται με τη λογική, ανιχνεύονται εύκολα.
• Έτσι λοιπόν οι υπολογιστές μπορούν να βοηθήσουν στη μετάβαση σε πιο αφηρημένα περιβάλλοντα.

• Βοηθούν τους μαθητές να κινηθούν σε υψηλότερα επίπεδα σκέψης, επειδή μπορούν να περιγράφουν καλύτερα τις γεωμετρικές τους ιδέες. Επιπλέον, ορισμένα υπολογιστικά περιβάλλοντα επιτρέπουν το χειρισμό των συγκεκριμένων αντικειμένων που βρίσκονται στην οθόνη του υπολογιστή, με τρόπους που βοηθούν τους μαθητές να τα δουν σαν γεωμετρικά (αντί σαν εικονικά) αντικείμενα και σαν αντιπροσώπους μιας τάξης από γεωμετρικά αντικείμενα. Αυτό όπως φαίνεται βοηθάει στην ικανότητα των παιδιών να συλλογιστούν τις ιδιότητες μιας τάξης από αντικείμενα και να σκεφτούν με περισσότερο γενικό και αφαιρετικό τρόπο.
• Βοηθούν τους μαθητές να σχηματίσουν περισσότερο ζωτική γνώση, επειδή οι μαθητές συνεχώς υπολογίζουν μία εικονική εκδήλωση της σκέψης τους. Επιπλέον, διευκολύνουν όχι μόνο την ανάπτυξη των εννοιών αλλά και την ικανότητα των μαθητών να εφαρμόζουν την γεωμετρική σκέψη σε καταστάσεις επίλυσης προβλημάτων.
• Απαιτούν και έτσι διευκολύνουν την ορθότητα και την ακρίβεια στη γεωμετρική σκέψη, η οποία είναι έτσι περισσότερο μαθηματική. Αντίθετα, δουλεύοντας με χαρτί και μολύβι, υπάρχει ανακρίβεια και οι μαθητές αποσπούνται από την πραγματική προσπάθεια του σχεδιασμού.
• Λειτουργούν σαν καθρέφτες της γεωμετρικής σκέψης των παιδιών, εκφράζοντας τη γεωμετρική τους σκέψη και στους δασκάλους αλλά και στους εαυτούς τους. Ερευνητές και δάσκαλοι αναφέρουν με συνέπεια ότι σε τέτοιου είδους πλαίσια, οι μαθητές δεν μπορούν να "κρύψουν" αυτό που δεν καταλαβαίνουν. Αυτό σημαίνει, ότι εμφανίζονται δυσκολίες και λανθασμένες αντιλήψεις (ή εναλλακτικές αντιλήψεις), οι οποίες εύκολα κρύβονται με τις παραδοσιακές προσεγγίσεις και πρέπει να αντιμετωπιστούν. Αυτό οδηγεί σε κάποια απογοήτευση από την πλευρά των μαθητών και των δασκάλων αλλά παράλληλα βοηθάει σε μεγαλύτερη ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων [28]. Για τους δασκάλους που είναι πρόθυμοι να δουλέψουν και να ακούσουν μαθητές, τέτοιου είδους περιβάλλοντα παρέχουν μία παραγωγική κατάσταση από την οποία μαθαίνουν να παίρνουν την αντίληψη των μαθητών στην ανάλυση των γεωμετρικών καταστάσεων και να ανακαλύπτουν ανυποψίαστες ικανότητες που έχουν οι μαθητές κατά την κατασκευή πολύπλοκων εννοιών (δοθέντος κατάλληλων εργαλείων, χρόνου και διδασκαλίας).
• Επειδή οι μαθητές μπορούν να δοκιμάζουν τις ιδέες τους πάνω στον υπολογιστή ,τους βοηθούν να κινηθούν από την αφελή στην εμπειρική και τέλος στη λογική σκέψη και τους ενθαρρύνουν να φτιάξουν και να δοκιμάσουν πιο δύσκολες καταστάσεις. Επιπλέον, τα περιβάλλοντα αυτά εμφανίζονται να συντελούν στην αναζήτηση και τοποθέτηση προβλημάτων.
• Διευκολύνουν την ανάπτυξη της αυτονομίας στη μάθηση (αντί να ψάχνουν για αυθεντία) και τη θετική σκέψη γύρω από τη δημιουργία μαθηματικών εννοιών.

2.6. Πώς πρέπει να είναι ένα υπολογιστικό περιβάλλον

• Τα υπολογιστικά περιβάλλοντα πρέπει να είναι σχεδιασμένα για να επιτρέπουν στους μαθητές να χτίζουν, στηριζόμενοι πάνω στις εικονικές τους αντιλήψεις αλλά ταυτόχρονα να απαιτούν όλο και πιο πολύ ολοκληρωμένους και ακριβείς ορισμούς και αναλυτική σκέψη.
• Ευκολία στη χρήση του editor και παροχή επαναληπτικών δομών και λειτουργιών πρέπει να χαρακτηρίζουν κάθε γεωμετρικό περιβάλλον.
• Στενοί σύνδεσμοι ανάμεσα στις αναπαραστάσεις, όπως ο κώδικας της LOGO και το παράγων σχήμα, πρέπει να εγκατασταθούν.
• Εργαλεία για την κίνηση από τις εικονικές / διαισθητικές, στις μαθηματικές / εμπειρικές, στις λογικές / αποδεικτικές φάσεις της γεωμετρικής σκέψης πρέπει να είναι διαθέσιμα και πρέπει να αναδύονται από τα εργαλεία των προηγούμενων φάσεων.
• Η ικανότητα για τη δημιουργία διαδικασιών, την τροποποίηση αυτών και την αντανάκλαση πάνω σ’ αυτές, είναι δυναμική. Αυτή η ικανότητα πρέπει να είναι διαθέσιμη και εύκολη στη χρήση. Η διαδικαστική και αλγοριθμική προσέγγιση στην κατασκευή των γεωμετρικών σχημάτων πρέπει να τονίζει τις διαδικαστικές-εννοιολογικές συνδέσεις.
• Τα εργαλεία που παρέχει πρέπει να επιτρέπουν στους μαθητές και στους δασκάλους να θέτουν και να λύνουν τα δικά τους προβλήματα, ενθαρρύνοντας την εξερεύνηση και την υπόθεση. Πρέπει δηλαδή να υπάρχει μια ισορροπία της ελευθερίας μέσα στους περιορισμούς.

2.7. Παιδαγωγικό υπολογιστικό περιβάλλον για μάθηση γεωμετρίας

• Η συλλογιστική σκέψη πάνω στις συνέπειες των δραστηριοτήτων πάνω στον υπολογιστή, καθώς και η μεσολάβηση του δασκάλου πάνω στις εργασίες των παιδιών μέσα στις δραστηριότητες - ειδικά η προαγωγή του διαλόγου ανάμεσα στους μαθητές και ανάμεσα στους μαθητές και στον δάσκαλο - είναι βασικά για να ενθαρρύνουν την αναλυτική σκέψη και την συλλογιστική υψηλότερου επιπέδου. Οι δάσκαλοι πρέπει να καθοδηγούν τους μαθητές για να συλλογιστούν πάνω στις δραστηριότητές τους.
• Οι μαθητές πρέπει να χειριστούν από μόνοι τους τις αναπαραστάσεις πάνω στον υπολογιστή και να συλλογιστούν εκείνες τις ενέργειες για να φτιάξουν έννοιες ακόμα και κάτω από καθαρές εξηγήσεις και παρουσιάσεις από τον δάσκαλο.
• Με τον Geometric Tutor, τοποθετώντας ένα μαθητή σε ένα υπολογιστή φάνηκε ανεπιτυχές [29], ενώ βάζοντας δύο μαθητές να δουλέψουν με συνεργασία σε ένα υπολογιστή φάνηκε πολύ επιτυχές για περιβάλλοντα εξερεύνησης όπως ο Geometric Supposer και η LOGO [28].
• Από μία πρακτική άποψη, ένα monitor ή ένας projector είναι πολύ σημαντικά για συζητήσεις σε ομάδες, σύμφωνα με μία άποψη ερευνητών, για όλους τους τύπους περιβαλλόντων.  Τουλάχιστον στο επίπεδο του λυκείου, μία θέση για τον υπολογιστή, για συζήτηση και για διάλεξη μπορεί να καλυτερέψει τις συγχύσεις σε όλη τη δομή του μαθήματος. Σε όλα τα επίπεδα, μια τέτοια θέση μπορεί να αυξήσει τα ήδη υψηλά κίνητρα της συνεργασίας, για σημαντικές εξερευνήσεις με τον υπολογιστή στο χώρο της γεωμετρίας.
• Οι δάσκαλοι πρέπει να καταλάβουν ότι πολλά πρέπει να γνωρίζουν πριν πάνε για δουλειά στο εργαστήριο υπολογιστών όπως : το software, τους τρόπους για να χειρίζονται το hardware και το software, το μαθηματικό περιεχόμενο, τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων και άλλα. Η απασχόληση των μαθητών με τέτοια υπολογιστικά περιβάλλοντα συνήθως εμποδίζει την εισαγωγή σε τέτοιες πληροφορίες μέσα στο εργαστήριο. Οι δάσκαλοι πρέπει επίσης να ενθαρρύνονται να σκεφτούν πάνω στις αντιλήψεις και τις προσπάθειες των παιδιών στη λύση των προβλημάτων στο εργαστήριο για να γνωρίζουν τι και πώς να δώσουν επιπλέον πληροφορίες κατά τη διάρκεια της επόμενης περιόδου  του  μαθήματος.
•  Η ανάπτυξη υπολογιστικών περιβαλλόντων για τη μάθηση της γεωμετρίας πρέπει να ολοκληρωθεί σε συνεργασία με ερευνητικές προσπάθειες. Οι ερευνητές πρέπει να ανακαλύψουν το πώς μπορούμε  συστηματικά να δημιουργήσουμε, στηριζόμενοι πάνω στη γεωμετρική σκέψη, μαθητές που να μαθαίνουν κάθε χρόνο.

"Οι εμπειρίες στη LOGO μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να γίνουν γνώστες των μαθηματικών τους διαισθήσεων και να βοηθήσουν στη μετάβαση από την εικονική στην περιγραφική / αναλυτική γεωμετρική σκέψη στα πεδία των σχημάτων, συμμετρίας και κινήσεων." [30] Επιπλέον, ειδικά στις περιοχές της γεωμετρίας, που αφορούν τη συμμετρία και την κίνηση, η δουλειά που έχει γίνει με LOGO έχει περισσότερη ακρίβεια και ορθότητα από αυτή που έγινε χωρίς LOGO.

2.8. Δόμηση γεωμετρικών εννοιών.

Το περιβάλλον γραφικών χελώνας της LOGO ήταν ένα από τα πρώτα που ενσωμάτωσε τα χαρακτηριστικά των υπολογιστικών περιβαλλόντων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Επειδή οι αρχικές αναπαραστάσεις των παιδιών για το χώρο βασίζονται στην κίνηση [32] και επειδή η μαθηματική έννοια της διαδρομής μπορεί να εννοηθεί σαν ένα σύνολο από κινήσεις, η έννοια της διαδρομής μπορεί να αποτελεί ένα πολύ καλό σημείο αφετηρίας για τη μελέτη της γεωμετρίας. Επιπλέον, οι δραστηριότητες στη LOGO οι οποίες σχεδιάστηκαν για να βοηθήσουν τα παιδιά να αφαιρέσουν την έννοια της διαδρομής, πρέπει να παρέχουν ένα παραγωγικό περιβάλλον για να αναπτύξουν τις αντιλήψεις τους για απλά δυδιάστατα σχήματα. Για παράδειγμα, με την έννοια του παραλληλογράμμου, οι μαθητές είναι ικανοί να αναγνωρίσουν μόνο τα εικονικά παραδείγματα που παρουσιάζονται, το επίπεδο 1 (εικονικό) δραστηριότητας του Van Hiele.

Στη LOGO όμως, οι μαθητές μπορεί να χρειαστεί να κατασκευάσουν μια ακολουθία από εντολές (μια διαδικασία) για να φτιάξουν ένα παραλληλόγραμμο. Ο Papert ισχυρίζεται ότι, "... ο υπολογιστής επιτρέπει ή υποχρεώνει το παιδί να εξωτερικεύσει τις διαισθητικές του προσδοκίες. Όταν η διαίσθηση ερμηνεύεται μέσα σ’ ένα πρόγραμμα, τότε αυτό χρησιμεύει στην απομοντελοποίηση της διαισθητικής γνώσης [8]. Δηλαδή στην κατασκευή μιας διαδικασίας που φτιάχνει ένα παραλληλόγραμμο, οι μαθητές πρέπει να αναλύσουν τις εικονικές τους απόψεις για τη διαδρομή του παραλληλογράμμου και να συλλογιστούν πάνω στο πώς τα συστατικά του μέρη θα τοποθετηθούν μαζί, μια δραστηριότητα η οποία ενθαρρύνει το επίπεδο 2 της σκέψης.

Επιπλέον, ζητώντας από τους μαθητές αν ένα τετράγωνο ή ένα παραλληλόγραμμο μπορεί να σχεδιαστεί από μια γενική διαδικασία παραλληλογράμμου, αν δοθούν οι κατάλληλες είσοδοι, ενθαρρύνει τους μαθητές να αρχίσουν να ταξινομούν λογικά τα σχήματα, το επίπεδο δραστηριότητας 3.

Οι μαθητές που δουλεύουν σε LOGO σχετίζονται στενά με το επίπεδο της γεωμετρικής τους σκέψης [33]. Επιπλέον, κατάλληλη χρήση της LOGO βοηθάει τους μαθητές ν’ αρχίσουν να κάνουν μετάβαση από τα επίπεδα μηδέν και ένα στο επίπεδο δύο της γεωμετρικής σκέψης. Για παράδειγμα, η εμπειρία με τη LOGO ενθαρρύνει τους μαθητές να βρουν και να περιγράψουν τα γεωμετρικά αντικείμενα σε σχέση με τις ενέργειες ή τις διαδικασίες που κάνουν για να τα σχεδιάσουν [28]. Επίσης, όταν τους ζητηθεί να περιγράψουν γεωμετρικά αντικείμενα, τα παιδιά με εμπειρία σε LOGO προσφέρουν όχι μόνο περισσότερες προτάσεις, αλλά περισσότερες προτάσεις οι οποίες αναφέρουν καθαρά τα συστατικά μέρη και τις γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων, μια ένδειξη του επιπέδου σκέψης 2 [28]. Όπως έχει αναφερθεί από τους ερευνητές του Van Hiele οι δραστηριότητες σε LOGO ενθαρρύνουν τους μαθητές να ενσωματώσουν τους τύπους των ιδιοτήτων, οι οποίοι θα αναπτυχθούν από τους μαθητές που έχουν φτάσει στο επίπεδο σκέψης 1 ρητά, κάτι που τα βιβλία συνήθως αποτυγχάνουν [30].
 

2.9. Συμπεράσματα

Για τη μάθηση, που επέρχεται με την εμπειρία, υποστηρίζεται ότι "είναι σχετικά σταθερή και μόνιμη, γιατί εξυπηρετεί ένα ή περισσότερους σκοπούς του ατόμου"[34]. Αυτού του είδους τη μάθηση προσπαθούν να προσφέρουν στα παιδιά τα αλληλεπιδρασιακά μαθησιακά περιβάλλοντα, όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο.

Εξειδικεύοντας στα υπολογιστικά περιβάλλοντα της γεωμετρίας, υποστηρίζεται ότι αυτά "μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν τη γεωμετρική τους σκέψη. Η οθόνη του υπολογιστή είναι μία επιδέξια αναπαράσταση - ένας "καθρέπτης" - της σκέψης των παιδιών. Έτσι λοιπόν, οι μαθητές μπορούν να κάνουν υποθέσεις, να υπολογίσουν τις εικονικές τους εκδηλώσεις σε αυτές τις υποθέσεις και να αναδιοργανώσουν τη σκέψη τους. Αυτό φαίνεται πολύ βασικό για την ανάπτυξη ικανοτήτων σκέψης πάνω στη γεωμετρία." [9]

2.10. Βιβλιογραφία